中点多边形的计算首先是调整三角形的角度，使三角形内角和等于180°，同时使观测的中心角之和为360°。
假设三角形个数为n，三角形闭合差为fi?ai?bi?ci?180?，按照反符号平均改正的原则，三
fi3角形每个内角的改正数为－，各个中心角的改正数之和为—
?3fi。但用全圆测回法测量的各中心
角之和为360°，为维持这个条件不变，同时使三角形内角和为180°，各角改正数应为：
?fiv????ai3??f? ?vbi??i?3??fi??vci??3?????fififi6n6n3n （4-26）
基线闭合差的计算与调整方法与单三角锁相同，这里不再累述。
例9 图4-19所示的中点多边形中，已知控制点B的坐标为(1000，1000)，方位角?00″，AB边长为450.045m。各角的观测值如表4-8。
ab为60°21′
?fc?30\，计算第一次角度改正，列入表中。
按式(4-24)计算基线改正数?=0.025m
按式(4-25)计算第二次角度改正：v?－1.5″列入表中，计算改正后 各角度值，推算各边方位角和长度，计算各点坐标：
?ab＝60°21′00.0″ Sab＝450.045m Xa＝777.363 Ya＝608.882 ?ac＝124°33′38.4″ Sac＝736.582m Xc＝359.514 Yc＝1215.477
?ad＝211°00′12.7″ Sad＝608.822m Xd＝255.520 Yd＝295.282 96 ?ae＝257°03′08.7″ Sae＝588.850m Xe＝645.425 Ye＝35.004 ?af＝345°02′45.0″ Saf＝667.070m Xf＝1421.841 Yf＝436.749
?ab＝60°21′00.0″ Sab＝450.045m Xb＝1000.000 Yb＝1000.000
中点多边形闭合差计算与调整 表4-8
角度观测值 改正1 第一次改正后 改正2 第二次改正后 a1 b1 c1 ∑ a2 b2 c2 78°56′45″ 36°50′44″ 64°12′39″ 180°00′08″ 41°00′35″ 52°32′56″ 86°26′34″ -3.7 -3.7 -0.6 -2.7 -2.6 0.3 78°56′41.3″ 36°50′40.3″ 64°12′38.4″ 180°00′00″ 41°00′32.3″ 52°32′53.4″ 86°26′34.3″ -1.5 1.5 -1.5 1.5 78°56′39.8″ 36°50′41.8″ 64°12′38.4″ 180°00′00″ 41°00′30.8″ 52°32′54.9″ 86°26′34.3″ ∑ a3 b3 c3 ∑ a4 b4 c4 ∑ a5 b5 c5 ∑ 180°00′05″ 64°43′51″ 69°13′27″ 46°03′00″ 180°00′18″ 49°41′37″ 42°18′42″ 87°59′31″ 179°59′50″ 38°12′59″ 66°28′54″ 75°18′16″ 180°00′09″ -7.0 -7.0 -4.0 2.3 2.4 5.3 -4.0 -4.0 -1.0 180°00′00″ 64°43′44.0″ 69°13′20.0″ 46°02′56.0″ 180°00′00″ 49°41′39.3″ 42°18′44.4″ 87°59′36.3″ 180°00′00″ 38°12′55.0″ 66°28′50.0″ 75°18′15.0″ 180°00′00″ -1.5 1.5 -1.5 1.5 -1.5 1.5 180°00′00″ 64°43′42.5″ 69°13′21.5″ 46°02′55.0″ 180°00′00″ 49°41′37.8″ 42°18′45.9″ 87°59′36.3″ 180°00′00″ 38°12′53.5″ 66°28′51.5″ 75°18′15.0″ 180°00′00″ 4．大地四边形
大地四边形通常布设在地势开阔和范围较小的地区。它一共需观测8个角度。 大地四边形的角度条件有两组，一组是对顶角条件，即 ?a1?b1?a3?b3 ?
?a2?b2?a4?b4 另一组是四边形内角和等于360°，即
? a1?b1?a2?b2?a3?b3?a4?b4?360
因此，角度观测有三个闭合差：
?f1?a1?b1?a3?b3? ?f2?a2?b2?a4?b4
???f3?a1?b1?a2?b2?a3?b3?a4?b4?360按照反符号平均改正的原则，大地四边形角度第一次改正数为：
97
??va1??v?a2 ??v?a3??va4??vb1???vb2???vb3???vb4??f38f38f38f38????f14f24f14f24 （4-27）
边长闭合差的调整从基线AB开始，最后返回到AB。计算公式与单三角锁相同。所有角度需进行第二次调整，然后计算C、D点坐标。
例10 图4-20中，角度观测值列于表4-8中，已知控制点A的 坐标为（500,500），方位角?ab=270°30′30″，Sab=238.760m， 计算C、D点的坐标。
根据式（4-27）计算第一次角度改正数： f1?a1?b1?a3?b3??5″
f2?a2?b2?a4?b4??6″ 图4-20 f3??ai??bi?360???21″
va1?vb1?+3.875″
va2?vb2?+1.125″ va3?vb3?+1.375″ va4?vb4?+4.125″
由式(4-24)求得基线长度闭合差为：??0. 028m
由式(4-25)求得第二次改正数为：v?－2.947″，列入表4-9中并计算改正后各角度值，推算各边的方位角和长度，计算各点坐标。
大地四边形闭合差计算与调整 表4-9
角度观测值 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4 46°18′35″ 53°26′05″ 42°11′30″ 38°03′40″ 58°19′10″ 41°25′35″ 34°33′49″ 45°41′15″ 改正1 3.875 3.875 1.125 1.125 1.375 1.378 4.125 4.125 第一次改正后 46°18′38.875″ 53°26′08.875″ 42°11′31.125″ 38°03′41.125″ 58°19′11.375″ 41°25′36.375″ 34°33′53.125″ 45°41′19.125″ 改正2 -2.947 2.947 -2.947 2.947 -2.947 2.947 -2.947 2.947 第二次改正后 46°18′35.928″ 53°26′11.822″ 42°11′28.178″ 38°03′44.072″ 58°19′08.428″ 41°25′39.322″ 34°33′50.178″ 45°41′22.072″
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?ab＝270°30′30.0″ Sab＝238.760m Xb＝502.118 Yb＝261.249
?bc＝354°52′50.0″ Sbc＝280.032m Xc＝781.033 Yc＝236.262
?cd＝78°29′57.5″ Scd＝284.236m Xd＝637.704 Yd＝514.790 ?da＝182°30′28.0″ Sda＝338.028m Xa＝500.000 Ya＝500.000
5．小三角测量的精度要求 1)三角形闭合差的限制
规范规定了各等级三角测量的测角中误差m?，由于角度是等精度观测，故三角形内角和的中误差为 m???3m?
因此，三角形内角和的最大容许闭合差为： ω角=23m? （4-28）
例如，规范规定四等小三角测角中误差m?=±2．5″，则
ω角=±8.66″，取整为±9″ 2)根据测得的三角形闭合差计算测角中误差
假定某三角网中共有n个三角形，其闭合差分别为ω1、ω2、?ωn，则三角形闭合差的中误差为： m???????? (4-29)
n此时，每个角的测角中误差为 m????????3n
3)推算边长的精度及闭合差
小三角测量计算推算边的公式为 S?sinain?S0?sinb
i 两边取对数并求导
lgSn?lgS0??lgsinai??lgsinbi
m22s n????ms0?S??????m???ctg2bi?n?S?????0????ctg2ai? 上式即为推算边的相对精度公式。 若ms0?0,则
ms??Snm?n??ctg2ai??ctg2bi 因此，推算边的容许误差为 ωS容＝?2nm???ctg2ai??ctg2bi 4)方向条件闭合差
三角网中若有两个以上起算方向，则产生方向条件闭合差。 ω＝?起－?终＋
??左－n×180°
m222??2m??n?m? 方向条件的容许误差为：
m22???2m??n?m? m方＝2m? (4-30)
99
（4-31）
（4-32）
5)三角形个数的讨论
在式(4-30)中，假定各三角形均为等边三角形，ctgmsn?ms0????S?022a?ctg2b?23。式(4-30)可写为
Sn?2n?m?????3????????22????2??msnn??????Sn???ms0?????S??0125000?3?2?2?2m?? （4-33）
根据上式可计算三角网中三角形的个数。 例11 某三角网起算边精度为该三角网中三角形的个数。 利用式(4-33)计算得n≤4。
因此，为了满足精度要求，该三角网中最多只可建立四个三角形。如果三角锁的另一端有 相同精度的基线，那末三角形的个数可增加一倍。 6．测边网
控制网的每条边都用测距仪测量，角度不观测，这种控制网称为测边网。典型的测边网图 形结构有正三角形测边锁、矩形大地四边形测边锁、中点正六边形测边锁等。测边网的特点是：
1)各类测边锁的横向误差明显大于纵向误差。
2)三种典型测边锁中，以中点正六边形测边锁的精度最高。其次是矩形大地四边形测边锁， 再次是三角形测边锁。从经济、技术角度综合考虑，以布设矩形大地四边形测边锁最为适宜。 3)测边网核心部分的点位精度高于周边部分。
4)测边网的各边均是独立测定，平差后的边长精度是均匀的，但其方向精度随着远离起始 点和推算图形的不良而逐渐降低。因此，在布设测边网时，应重视图形结构。在图形恰当时，以 对角线的形式来增加检核条件。
99
7．边角网
一般来说，测角网有利于控制网中点位的横向误差，测边网有利于控制网中点位的纵向误 差。边角网是对网中角度和边长都进行观测，以达到取长补短、提高网的点位精度的目的。虽 然边角网的测量增加了野外工作量，但它的精度也会显著提高。 I
边角网可分为完全边角网和边角混合网。完全边角网是观测由三角形构成的平面几何图 形的全部边和角。边角混合网是边、角组合观测，如观测全部的边长和部分角度、观测部分边 长和全部角度。 I
边角混合网的布设，可根据仪器的精度和优化设计的结果将两种手段进行组合，力求在经 济、合理贸情况下，有效提高控制网的精度。 8．公路施工控制网的布设
布设公路施工控制网的目的是，作为工程建(构)筑物施工放样的依据和监测其在施工、营 运期间的变形，如位移、倾斜、沉降等，它是为工程建设中某些项目服务的。
，测角中误差为5″，要求推算边精度不超过
120000，计算
