解：由A、B、C三点的坐标计算得到三角形ABC三边的长度为：
a＝371.597
b＝391.072 c＝726.369
按三角形余弦定理计算出：
∠A＝ 17°17′19.1″ ∠B＝18°13′21.9″ ∠C＝144°29′29.0″ 按式(4-22)得出：
?＝262°16′17.0″
按式(4-21)得出：
Pa?0.44080866 8 Pb?0.44829193 1 Pc??0.65052644 2 Xi?1869.201 Yi?2735.227 可见，计算结果与例5相同。 ：
2)后方交会的精度
由于后方交会缺少检核条件，因此，在实际工作中常常观测四个已知控制点，选择三个已知方向(如图4-16所示)按后方交会公式(4-21)计算待定点的坐标，用对第四点所观测的角度作为检核。同前方交会一样，后方交会点位精度控制在±5.0cm，因此，根据多余观测值与必要观测值计算的纵、横坐标差值，不应大于±3.5cm。
90
?Yb??arctg?ibXb??Yd? ??id?arctgXd???Yid?Sid??sin?id??Yi?Xi?Yi?Xi
???id??ib 图4-16 ?????? 用??与Sid可计算出I点的位移e
'e?Sid??
????eSid ? 通过规定，e容许≤0.2M，M为测图比例尺分母，因此
?e容=
当计算的e容许小于?e容时，说明测量结果合格。
值得注意的是，当A、B、C、I四点位于同一圆周上时，由几何原理可知，无论I点在任何 位置，?、?角均不变，这时，后方交会点I就无法解算。这个圆称为危险圆。在实际工作中，交 会点位于危险圆上的情况是极为偶然的，但位于危险圆附近是经常出现的，这时，计算出的交会点坐标有较大的误差。因此，在选定交会点I时，应予以重视，尽量避免选在危险圆上或危险圆附近。在进行交会定点时，如果加测一条交会边的长度，可避免因交会点在危险圆上而无解的情况，这时，有一个多余观测值可作为检核。 三、小三角测量
小三角网是由三角形组成的平面几何图形的一种，其大小由测定长度确定，其形状由测定角度来确定。长度元素的测定只有一条边或少数几条边，而网中所有角度元素都必须测定，其它各边的长度均由已知边长和角度推算。
由于在高等级公路勘测时在道路沿线已布设了导线点，因此，在施工控制测量时，只需布设小三角网即可满足要求，如单三角锁、线形锁、中点多边形、大地四边形等。这里只对常用的小三角网的布设和计算加以介绍。 1．单三角锁
图4-17所示的三角网两端都有已知控制点，这种三角网称为单三角锁。测量时只观测所有角度。 1)角度闭合差的调整
91
由于角度观测存在误差，使三角形内角和不等于 180°，产生角度闭合差fi。
? fi?ai?bi?ci?180
0.2MSid? （4-23）
因为角度是等精度观测，所以角度闭合差的调整原 则是将角度闭合差按相反的符号均匀地改正到三个角
上。
2)基线闭合差的调整
单三角锁的计算是由基线长度S0和观测角按三角 图4-17
形的正弦定理推算其它边长。推算到最后边的长度不等于已知基线长度Sn，产生了基线闭合差。 设第一次调整后的三角形各角为ai、bi、ci，按正弦定理推算终边基线长度：
''' S 基线闭合差为
'n?S0sin?'1'sin?''2???sin????sinb''nsinb1sinb
2n ??S'n?Sn (4-24) 由于单三角锁的两端是已知控制点，故认为基线闭合差是角度误差引起的(虽然角度经过了第一次平差)，仍需对传距角进行第二次平差。因为第一次平差后各三角形内角和等于180°，所以第二次改正不能破坏三角形闭合条件。假设角度a'i的改正数为v″，则角度b'i的改正数为—v″，即 Sn?S0?sina??sin?b''ii? ?v??v 将sin?ai?v?和sin?bi?v?按泰勒级数展开，只取前两项
? sin?ai?v??sin?1?'??v?vctg?'i??? ?? sin?bi?v??sin?1?'??'?ctgbi?? ??考虑到规范要求三角锁传距角在30°～120°之间，且v很小，?ctgbi?v??，故 ?v' ?1?ctgbi????????1?1?v?ctgbi
'将以上式子代人式(4-23)并略去高次项，可得
92
S0?sina?sinb''ii?v?1?????ctgai?''v??'?ctgbi???Sn?0?''ii
??ctga??ctgb???'iivSn?sinbS0?sina'?1 （4-25）
v????Sn????ctgai?'??ctgb?i 上式即为角度第二次改正的计算公式。
三角锁坐标的计算是根据调整后的角度按导线计算的方法进行。如图4-17中，坐标计算 按A、C、E、F、D、B的方向进行。
例7 图4-17所示的单三角锁中，已知控制点的坐标为A(500.000，500.000)、B(832.906， 640.853)，E(479.588，1217.396)，F(700.433，1355.991)，角度观测值列于表4-6。
单三角锁闭合差计算与调整 表4-6
角度观测值 改正1 3″ 第一次改正后 63°41′21″ 改正2 2″ 第二次改正后 63°41′23″ a1 b1 c1 ∑ a2 b2 c2 ∑ a3 b3 c3 ∑ a4 b4 c4 ∑ 63°41′18″ 51°13′44″ 65°04′48″ 179°59′50″ 41°05′39″ 58°16′12″ 80°38′15″ 180°00′06″ 60°08′24″ 63°07′34″ 56°43′50″ 179°59′48″ 53°59′25″ 57°39′28″ 50°21′16″ 180°00′09″ 3″ 4″ -10″ -2″ -2″ -2″ 6″ 4″ 4″ 4″ -12″ -3″ -3″ -3″ 9″ 51°13′47″ 65°04′52″ 180°00′00″ 41°05′37″ 58°16′10″ 80°38′13″ 180°00′00″ 60°08′28″ 63°07′38″ 56°43′54″ 180°00′00″ 53°59′22″ 57°39′25″ 50°21′13″ 180°00′00″ -2″ 2″ -2″ 2″ -2″ 2″ -2″ 51°13′49″ 65°04′52″ 180°00′00″ 41°05′39″ 58°16′08″ 80°38′13″ 180°00′00″ 60°08′30″ 63°07′36″ 56°43′54″ 180°00′00″ 53°59′24″ 57°39′23″ 50°21′13″ 180°00′00″ 第一次角度闭合差的计算与调整见表中所列。 按式(4-24)计算的基线闭合差为??-0.013m
按式(4-25)计算得第二次角度调整v?2″，最后得到调整后的角度。 由已知控制点的坐标计算起始边和终了边的方位角： ?ab?22°56′00″ ?ca?266°37′23″
93 三角形内角经两次改正后，可计算出各边的方位角： ?bd?96°45′29″ ?df?107°46′03″ ?fe?212°06′40″
?ec?278°37′67″ 用正弦定理计算各边的长度
Sbd?482.137m Sdf?248.188m
Sec?301.060m Sca?420.474m 再用导线计算的方法计算得出待定点的坐标为： C(524.768，919.745) D(776.169，1119.641) 2．线形锁
线形锁就是在两个已知控制点之间插入一个三角锁。在线形锁中须观测三角形的所有内角和两端控制点上的连接角(亦称定向角)。当条件困难时，也可只观测一个定向角，甚至不测定向角。
线形锁的计算首先也是在三角形内进行角度平差(如果观测了两个定向角，还要进行方向角闭合差的调整)，然后假定起点边的长度进行坐标增量的计算。由于假定起点边长的三角锁与实际三角锁是相似的，故假定坐标增量与两已知点的坐标差成比例。根据这个比例系数可计算出各边的真边长和真坐标增量，从而计算出各点的坐标。
如果不测定向角，可同时假定起点边的边长和方位角，计算终点的假定坐标增量，用假定坐标增量计算起终点方向的假定方位角，起终点方向的假定方位角与真方位角的差值即为各边假定方位角的改正数。
例8 图4-18所示的线形锁中，已知控制点A、B的大地坐标为(1500，1500)、(1700.433，2355.991)，
?MA? 96°49′16\，?BN?16°18′'49\，各三角形内角和连接角观测值列在表4-7中，试计算各三角点
的坐标。
解：第一步，计算各三角形闭合差，按照反符号平均分配的原则，计算各角的改正数。 第二步，按A1234的顺序推算BN的方位角?'BN，计算方向角闭合差Wa Wa=?'BN－?BN
按推算路线将方向角闭合差平均改正到各观测角中，同时要保证三角形内角和为180°，因此其它两个内角要做相应的改正。
第三步，假定A1边的长度，本例中为500m，按正弦定理推算12、23、34、4B的边长。
第四步，按假定边长推算各点的假定坐标增量?X'、?Y'。由于假定边长的线形锁与实际的线形锁是相似的，因此，假定坐标增量之和与 A、B两点的坐标之差成比例。即
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k??X?Y??X'???Y'
??X??Y??X'???Y'
本例中，k?0.72295911。
第五步，按照比例系数k计算各边的真边 长。
第六步，按推算方向和导线计算的方法计算各点的坐标。 图4-18
3．中点多边形
中点多边形适宜于在山区和丘陵地区布设，三角形的个数一般为5～7个。它除了观测所有三角形的内角外，由于它是一个闭合图形，本身可以进行边长检核，因此它只需要一条边长，或者只需要一个已知控制点和已知方位角。中点多边形角度的编号是中心角用ci表示，其余用ai和bi表示。
