?mt'?mab??m'?m?L?u2?? ? （4-15） 'mt'?mt中?2?'?'mu?mu中??2
导线端点的点位中误差由上述四种误差形成。 M? 3)导线测量精度要求
导线测量的精度要求是使导线最弱点的点位中误差不超过5cm，各方向的误差采取等影响原则，由式(4-16)反算出：
mt中 =mu中=mt'中=mu'中=±25㎜
由于测距误差引起的导线中、端点误差比值为1:2，测角误差引起的导线中、端点误差比值随导线边数的变化而不同，近似地取其比值为1:4，由此得到导线端点由测量误差引起的纵、横向误差为：
' mt＝±25×2＝±50㎜
mt?mu?mt?mu （4-16）
22'2'2mu＝±25×4＝±100㎜
'由起始数据引起的导线端点纵、横向误差为：
mt＝±25×2＝±50㎜ mu＝±25×2＝±50㎜
由此可计算出导线测量误差和起始数据误差引起的导线端点点位中误差为±132mm，具体反映为导线全长闭合差。若以2倍中误差作为容许误差，则导线全长容许闭合差为±264mm。例如，一级导线全长为4km，则一级导线容许相对闭合差为线的容许相对闭合差为
115000115151。规范中采用的容许相对闭合差是按计算凑整，因此，一级导
。
同样，按各方向误差采取等影响原则，可计算出一级导线每边的测距偶然误差为±15mm，测角中误差为±5″。
二、交会定点
在丘陵或通视良好的地区，当已知控制点的数量不能满足施工控制的要求时，可以采用交会定点的方法来加密控制点。交会定点的方法有前方交会、后方交会、侧方交会、两边交会、三边交会等，这里主要介绍常用的前方交会和后方交会。
1．前方交会
如图4-14，在已知点A、B分别对待定点I观测了水平角?和?，以此计算I点坐标，这就是前方交会。
1)坐标计算
前方交会坐标计算的方法很多，最简便的方法是利用计算机在Auto-CAD下直接画出图形，量取交
会点坐标。这里介绍一种用函数计算器计算前方交会点坐标的方法。
设I点的坐标为 (X，Y)，X?Xa?Sai?cos?ai，由正弦定理可知： Sai?Sabsin??????sin
?ai??ab?? X?Xa?Sab??ab???sin?sin????sin?
?Xa?Sabsin??cos?abcos??sin?absin??sin?cos??cos?sin?cos?abctg??sin?abctg??ctg?
?Xa?Sab
将Sab?cos?ab??Xab?Xb?Xa和Sab?sin?ab??Yab?Yb?Ya带入得 X?同样可推算出 Y?Yactg??Ybctg???Xb?Xa?ctg??ctg?Xactg??Xbctg???Yb?Ya?ctg??ctg?
（4-17）
上式就是前方交会点坐标的计算公式。由于公式中需要计算观测角?、?的余切，故称为余切公式。 例4 图4-14中，已知：Xa=1060.694，Ya=2659.951，Xb=1679.432，Yb=2359.587，角度观测值 ?=59°42′39″， ?=69°11′04″。将这些数据代人式(4-17)得： Xi=1339.262 Yi=2402.576
由于前方交会没有检核条件，故在实际中应由三个已知控制点对待定点进行观测，分别计算出两组前方交会点的坐标。规范规定，交会定点的点位中误差不超过±5㎝，即根据多余观测值与必要观测值计算的纵、横坐标差值，不应大于±3.5㎝。当计算出的两组坐标的差值在容许范围内时，取其平均值作为交会点的坐标。如在图根点交会时，两组坐标的差限可按下式计算(M为测图比例尺分母)
?f?22?X??Y?0.2M（㎜） （4-18）
2)前方交会的精度
以m表示测角中误差，前方交会的点位中误差公式为： mi?msin2??sin2?sin2?????
?msin2??sin2?sin2? （4-19）
令 y?sin2??sin2?
?sin2??sin2?180?????? ?sin2??sin2?????
当y有最小值时，y′=0，即
2sin?cos?????cos??????0 ??2sin sin2??sin2??????0 sin2??sin2?180?????0 sin2??sin2??0
即???
从式(4-19)可以看出，当??????90时，mi取得最小值。因此，在实地选择交会点时，应使?、
??角大致相等，且?角接近90°。
2．后方交会
如图4-15所示，后方交会是在待定点I对已知点A、B、C分别观测了水平角?和?，以此计算I点坐标。
1） 坐标计算
后方交会点的坐标计算比较复杂，但在计算机上用AutoCAD作图则直观、简便。方法是先以已知边长AC为弦长，以?角为圆周角算出过A、C、I的圆的半径R1，然后过A、C做半径为R1的圆。同样，以BC为弦长，?角为圆周角算出过B、C、I的圆的半径R2，过B、C做半径为R2的圆，两圆的交点即
为待定点I的位置，其坐标可直接量取。作图时应注意I点与已知控制点的相对位置。
下面对两种利用函数计算器计算后方交会点坐标计算的公式作简单的介绍。①余切公式
由已知点坐标及角度观测值?、?按下式计算：
?X?i?Xc??Xci?Yi?Yc??Yci???Xa?bkci??1?k2??Yci?k??X?ci ??k?a?c ?b?d?a??Xa?Xc???Ya?Yc?ctg???b??Yc?Ya???Ya?Yc?ctg???c??Xc?Xa???Yb?Yc?ctg???d??Y?a?Yc???Xa?Xc?ctg? 由于此式需计算角度观测值?、?的余切，故称后方交会余切公式。 4-20） （
例5 已知控制点A、B、C的坐标及?、?的观测值列于表4-5，根据式 (4-20)计算待定点I的坐标。 计算时，按照计算次序，画好计算表格，将已知数据和每一步计算的结果填人表格。 据广大测量工作者反映，此式为手算步骤最少的公式。
后方交会坐标计算 表4—5
简图 如图4-15所示 A X Y 1406.593 2654.051 X Y B 2019.396 2264.071 X Y C 1659.232 2355.537 46°37′26″ 0.94486351 209.969 379.690 1869.201 2735.227 ? ctg? a b c d k 51°06′17″ 0.806762209 -11.8092 -502.3336 -446.5869 248.8398 1.8083 ? ctg? ?Xci ?Yci Xi Yi ②重心公式 用已知控制点A、B、C的坐标计算出?ABC的三条边长a、b、c，然后利用余弦定理计算出
∠A、∠B、∠C的值，
?1?Pa?ctgA?ctg???1?Pb?ctgB?ctg???1?P? （4-21） ?cctgC?ctg???PaXa?PbXb?PcXcX??iPa?Pb?Pc??PaYa?PbYb?PcYcY??i?Pa?Pb?Pc?由于这种公式的形式与广义算术平均值的计算式相同，故有些书中称之为仿权公式。 式中辅助角?丁的计算方法如下：
??360?????? （4-22）
? 例6 用例5中的数据和重心公式计算后方交会点I的坐标。
