?11?TX(k?1)?(??k?1)] Y(?)?G(?)*X(?)?[TSa]*[2?2?2?2k???? ?Tk?????X(k?1)Sa(??k?1)T 2当T??时，Sa(??k?1)T趋向于集中在??k?1处，其他地方为零值，所以功2率谱密度函数为：
?(??k?1)T|Y(?)|2?limT?|X(k?1)|2Sa2 P(?)?lim
T??T??T2k???由于?(?)?limT?T???Sa2(T?)，?(??n?1)?limT(??n?1)T，所以： Sa2T??2?2 P(?)?2?|X(k?1)|2?(??k?1) ?k???由此可求题给信号的功率谱密度函数： P1(?)?2?X(k?1)?k????2?(??k?1)
?2 ?2?k?????k???jk?1A?Sa1?e2?(??k?1) T2k??Sa1?(??k?1)
2k???2?A2?2 ?T2解 (2) P4(?)?2?
???2?k????1?(??k?1)?1TT2?(??k?1)?k????(?1?2?). T*3.14 求题3.2中x1(t)和x2(t)的能量谱密度函数。
解 设x1(t)的能量谱密度函数为E1(?)，E1(?)?X1(?)?2A22?2A2?24??2设x2(t)的能量谱密度函数为E2(?)，E2(?)?X2(?)?。 Sa44
Sa2??。
*3.15 信号x(t)的最高频率fmax为500Hz，当信号的最低频率fmin分别为0，300Hz，400Hz时，试确定能够实现无混叠采样的最低采样频率，并解释如何从采样后信号中恢复
x(t)。
解(1) fmax?500Hz,fmin?0，所以fs?2fmax?1000Hz
(2) fmax?500Hz,fmin?300Hz，N?fmax5005???2.5，取
fmax?fmin500?3002N?3
2fH2f?fs?L中可知，只有当k?1不等式才能成立：kk?12?500?fs??，所以采样频率只能取fs?1000Hz。
fmax500(3) fmax?500Hz,fmin?400Hz，N???5，
fmax?fmin500?4002f2f当k?1,2,3,4,5代入式H?fs?L中可知，当k?5不等式成立：
kk?12?5002?400，所以最低采样频率fs?200。 ?fs?55?1当k?1,2,3代入式
*3.16 正弦信号的振幅电平为?1V，现采用12位的量化器进行舍入式量化，求量化误差的方均根值和量化信噪比。 解 D?2V，M?12，Q?D/2M?2/212?21/11；
??2?13112Q??； Q，???32121212T11111PN?Q2??22，Ps??2Tsin2?tdt?；
T?21212221?SNR?10lgPs?6M?10.8?20lgD?10lg?6?12?10.8?20lg2?73.77dB
2
?t)]，x2(t)?Sgn[cos(2?t)]*3.17 绘出x1(t)?Sgn[cos(的波形，并证明它们在[0，1]区间上是相互正交的。
0 1 2 0 1 2 解 由三角函数和符号函数的意义可绘出x1(t),x2(t)的波形如图所示。显然：
x1(t)x2(t)dt??01?1?dt??01/211/2(?1)?dt?0
即在[0，1]区间上满足正交的定义。
*3.18 求信号x(t)?t[?(t)??(t?1)]的自相关函数。 解 R(?)????x(t)x(t??)dt
?13??t2当?1???0：R(?)??x(t)x(t??)dt??t(t??)dt?t003021?1 ?(1??)3?(1??)2?(1??)2(2??)
3261??1??1??1??
013?1?1?t2??3?? 当0???1：R(?)??t(t??)dt?t?3?2?623111
第四章习题解答
4.1 求下列离散周期信号的傅里叶级数系数。
(n?1)? 6?2?解 ?0?,N??12
6?0(1) x(n)?sinn?11?j6j6n1j6?j6n sin??，若取0?k?11, 则： ee?e?e62j2j??????1?j61j a1? e， a11?a?1??e6， ak?0.对其余ｋ 值。2j2j
2?2?n?cosn 372?2?2?2?,N1??3,?2?,N2??7. ?x(n)的周期为解 ?1?N?21. 3?17?2(2) x(n)?cos1j x[n]?e22?n32?1?j?e22?n31j?e22?n71?j?e22?2?n7
2?1j21?7n1?j21?7n1j21?3n1?j21?3n?e?e?e ?e
2222若取：?10?k?10, 则
1??a3?a?3?a7?a?7?.2 ??对其余ak?ak?0,
(3) x(n)?cos2??n?cosn 46?解 ?1??4,N1?2??2??8;?2?n,N2??12. ?16?22?2?22?1j?3n1?j24?3n1j24?2n1?j24?2n?e?e?e ?x(n)的周期为?24. x(n)?e24，
2222若取?k?k?11, 则：
??a?a1?3?3?2 ??1?a2?a?2??2
??ak?0,对其余ｋ值.?
(4) x(n)?(12)n(0?n?3)，周期N?4 2?解 a?1?jkkNx(n)eNn?13(1)ne?jkn???N?4n?2?4n
?021?(1 ?12)44??15?1(0?k?3)
1?1?j?2k641?j?2k2e1?2e
?(5) x(n)?[?(n?5l)??(n?4?5l)] l?????jk2?5解
a]4k?15Nx(n)e?jk?Nn?1
n???2N?5e?jk2?n?11?[en?3?05?1?e?jk2?5?j8?ksin4 ?1?1?e5k?5?155?e?j35k?(0?k?4.)
1?e?j2?5ksin15k?
(6) x(n)?(?1)n
解 1?2?ak?Nx(n)e?jkNn?11x(n)e?jkn??N?2n?2?2?n?11?0?02?2e?jk????1即：a0?0,a1?1.
k?0k?1
4.2 已知周期信号x(n)的傅里叶级数系数ck及其周期N，试确定信号x(n)。 (1) ck?cos?6k?sin5?k， N?12 62?10?10?1j12k1?j12?k1j12k1?j12k解 ck?e，将此式与ck的定义式比较可?e?e?e222j2j知：
2? x(1)?6,x(11)?x(?1)?6,x(5)?6j,x(7)?x(?5)??6j
?若取0?n?11. 则x(1)?x(11)?6,x(5)?6j,x(7)??6j,其余x(n)?0.
?1?(2) ck??? (?2?k?2)， N?7
?2?解 x(n)?kcke?k??N?j2?knNj1?()?kek??22?02?kn7j1?()kek?12?22?kn7
1?j ?e41?jn1j?e7?1?e222?14? ?1?cosn?cosn
727
4.3 求下列序列的傅里叶变换。
(1) x(n)??(n)??(n?6)
2?n?272?2?n71j?e42?n?27
解 X(?)?x(n)e?n?????j?n??en?05?j?nsin3??j2?1?e?j6???e?
11?e?j?sin?25
?1?(2) x(n)???[?(n?3)??(n?4)]
?3?解 X(?)?|n|x(n)e?n?????j?n1?n?j?n31n?j?n??()e??()e
33n??3n?0?1131?n?j?n1mj?m1??()e??()mej?m 令 m??n 有：?()en??33m?33m?13?11mj?m31m?j?m31mj?m?j?m??()e??()[e?e]?1 ?原式??()e333m?1m?0m?13
