d2h(t)dh(t)当t?0时：?5?4h(t)?0 2dtdt h(t)?[c1e?t?c2e?4t]?(t)
h'(t)?(c1?c2)?(t)?[c1e?t?4c2e?4t]?(t)
h\(t)?(c1?c2)?'(t)?(c1?4c2)?(t)?(c1e?t?16c2e?4t)?(t)
12代入原方程，比较两边系数得： c1?,c2?.
3312 ?h(t)?(e?t?e?4t)?(t)
33
*2.14 试求下列系统的零输入响应、零状态响应、强迫响应、自由响应。
dy2(t)dy(t)dx(t)?3t??5?4y(t)??2x(t)(1) ；x(t)?e?(t)，y(0)?1，
dtdtdt2y'(0?)?1
dx(t)解 (a)求强迫响应： ??2x(t)??3e?3t?2e?3t; ?假设特解为：
dtyp(t)?Ae?3t
11； 则强迫响应 yp(t)?e?3t?(t).
22?t?4t(a)求自由响应yc(t)：yc(t)?c1e?c2e,
代入原方程，可定出A?利用冲激平衡法可知： y\(t)?A?(t)?B?(t) y'(t)?A?(t).
可定出A?1；所以y(0?)?y(0?)?1,y'(0?)?y'(0?)?A?2
完全解形式：y(t)?c1e?t?c2e?4t?e?3t，由y(0?)?1,y'(0?)?2定出
12c1?114,c2?? 6311?t4?4t1?3te?e?e 632114所以自由响应为：yc(t)?e?t?e?4t
63dx(t)(b)求强迫响应： ??2x(t)??3e?3t?2e?3t; ?假设特解为：
dtyp(t)?Ae?3t
即完全响应为：y(t)?11； 则强迫响应 yp(t)?e?3t?(t).
22?t?4t(c)求零输入响应：yzin(t)?c1e?c2e
52由 y(0?)?y'(0?)?1 可定出c1?,c2??
3352 ?yzin(t)?(e?t?e?4t)?(t)
33代入原方程，可定出A?
(d)求零状态响应
零状态响应＝自由响应＋强迫响应－零输入响应
＝
11?t4?4t1?3t5?t2?4t121e?e?e?(e?e)?e?t?e?4t?e?3t 63233632综上所求，有： y(t)?11?t4?4t1?3te?e?e 63?2?????????自由分量强迫分量 ?
5?t2?4t1?t2?4t1?3te?e?e?e?e 336???32???????????????零输入分量零状态分量(2) 6y(n)?5y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1)；x(n)??(n)，y(?1)?1，
y(?2)?1
解法一 用z变换求解。方程两边进行z变换，则有：
6Y(z)?5z?1Y(z)?5y(?1)?Z?2Y(z)?z?1y(?1)?y(?2)?X(z)(1?z?1)
5y(?1)?y(?2)?zy(?1)1?z?1X(Z)? Y(z)? ?1?2?1?26?5z?z6?5z?z1(z?)zz(z?1)z6?? ? 11(z?1)116(z?)(z?)(z?)(z?)2323z?111?2z?z??]?[?] ?[11Z?1116z?z?z?z?2323??????????????????零状态零输入 ?y(n)?[(?)n?(11?1n?1?1)?1]?(n)?[()n?2()n]?(n)
6??3??2????????3?????2???零状态零输入 ?〔(7?1n131n1)?(?)]?(n)??(n) 6??3???6??2????6???自由响应强迫响应解法二：时域解法。
求强迫响应：
x(n)?x(n?1)??(n)??(n?1)
当n?1时：x(n)?x(n?1)?2 即为常值序列， ? 设特解为yp(n)?A.，代入原方程可定出A?1 61. 6当n?0时：仅在激励作用下，由原方程知6y(0)??(0)，即：y(0)?? 特解yp(n)?求自由响应：
1在n?0时均满足方程。 6121316n?0. y(1)?完全解：y(n)?c1(?)n?c2(?)n?31 36137由y(0),y(1)可定出完全解中系数c1,c2为：c1??,c2?
66711311?y[n]?(?)n?(?)n?n?0.
63626
71131则自由响应分量为：y(n)?[(?)n?(?)n]?(n)
6362由y(?1),y(?2)经迭代得：y(0)??,零输入响应：
65?1n1)?c2(?)n 32由 y(?1)?y(?2)?1 可以定出：c1?1,?11?yzin(n)?[()n?2(?)n]?(n)
32
yzi(nn)?c1(零状态响应：
c2??2
11?1y2s(n)?y(n)?yzin(n)?[1?(?)n?()n]?(n)
632
*2.15 试证明线性时不变系统具有如下性质： (1) 若系统对激励x(t)的响应为y(t)，则系统对激励(2) 若系统对激励x(t)的响应为y(t)，则系统对激励
dx(t)dy(t)的响应为； dtdt???tx(?)d?的响应为?y(?)d?。
??t证(1) 已知x(t)?y(t)，根据系统的线性试不变性有：
11[x(t)?x(t??t)]?[y(t)?y(t??t)]；令?t?0，则有：x'(t)?y'(t). ?t?t证(2) 已知x(t)?y(t)，根据系统的线性试不变性有：
x(n?t)?t??y(n?t)??t ?n?t???n?t???tt令?t?0, 则n?t??,x(n?t)?x(?),?t?d? ，所以
?n?t???t??t??
???tx(?)d???y(?)d?.
??t证毕。
*2.16 考察题图2.16(a)所示系统，其中开平方运算取正根。
(1) 求出y(t)和x(t)之间的关系；
(2) 该系统是线性系统吗，是时不变系统吗？
(3) 若输入信号x(t)是题图2.16(b)所示的矩形脉冲(时间单位：秒)，求响应y(t)。
y(t) 1 + ? 乘2 开平方 ? - t + 0 1 平方 (a) 题图2.16 (b) x(t) 延迟1秒 平方 x(t) 解 (1) 由系统框图可得y(t)?x(t)?x(t?1)
(2) 由输入一输出关系可以看出，该系统不满足可加性，故系统是非线性的。 又因为当输入为x(t?t0)时，输出为x(t?t0)?x(t?t0?1)?y(t?t0），故系统是时不变的。
(3) 由输入一输出关系，可以求得输出为图示波形。
y(t)
1 t
0 1 2
*2.17 一个线性系统对?(t??)的响应为h?(t)??(t??)??(t?2?)， (1) 该系统是否为时不变系统？ (2) 该系统是否是因果系统？
?(t)，求该系统对每个输入的响应。
解 (1) ?当??0时，输入为?(t),输出为h0(t)??(t)??(t)?0 当??0时，输入为?(t??),输出为h?(t)??(t??)??(t?2?) 显然 h?(t)?h0(t??)，?是时变系统。
(2) 当??0时，如???1,?(t?1)??(t?1)??(t?2)
(3) 若 a)x(t)??(t?1)??(t?3)；b)x(t)?e?t显然，响应出现于激励之前，所以是非因果系统。
(3) 因为不是LTI系统，所以输出响应不能用h(t)*x(t)来计算。对于线性时变系统，输出响应可求解如下：
任意信号x(t)仍可分解为冲激函数的和，即有：x(t)?????x(?)?(t??)d?.
?因为?(t)?h0(t),?(t??)?h?(t,?)（这里h?(t,?)是t,?的二元函数） 由于系统为线性的，故有：y(t)?当x(t)??(t?1)??(t?3)时： y(t)?
????x(?)?h?(t,?)d?
对于此例有h?(t,?)??(t??)??(t?2?)，
???[?(??1)??(??3)][?(t??)??(t?2?)]d?
tt21?d?]?(t?2)?[21?d?]?(t?6). 13???[?(??1)??(t??)??(??3)??(t??)??(??1)??(t?2?)??(??3)??(t?2?)]d?
?? ?[1?d?]?(t?1)?[1?d?]?(t?3)?[?1t?3t??t2tt ?(t?1)?(t?1)?(?1)?(t?2)?(t?3)?(t?3)?(?3)?(t?6)
22tt （注意：??(?1)??(t?2),?(?3)??(t?6)）
22 ?(t?1)?(t?1)?(t?3)?(t?3)?(?1)?(t?2)?(?3)?(t?6)
t2
