这是高二文科数学期考试题
20．（本小题满分13分）
已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x
轴的垂线交C于点N.
(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
(2)是否存在实数k使NA·NB＝0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由.
2
20. 解：(1)证明：如图，设A(x1,2x21)，B(x2,2x2)，
把y＝kx＋2代入y＝2x2得：2x2－kx－2＝0，(2分) x1＋x2kk
故x1＋x2＝，,x1x2＝－1，所以xN＝xM＝
224
2
kk所以N点的坐标为 48. (4分)
kk2
x－ ， 设抛物线在点N处的切线l的方程为 y－＝m 4 8mkk2
将y＝2x代入上式得2x－mx＋0，
48
2
2
2
mkk
＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝m－8 所以m 482
＝k，即l∥AB. (6分)
k
(另用导数的几何意义的y' 4x 4 k)
4
(2)假设存在实数k，使NA·NB＝0，则NA⊥NB，1
又因为M是AB的中点，所以|MN|＝AB|.
2
2
1111 kk2 由(1)知yM＝y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)k(x1＋x2)＋4］＝ 24 ＝＋2. (9分) 222242
k2k2k＋16
因为MN⊥x轴，所以|MN|＝|yM－yN|＝2－488
又|AB|＝1＋k·|x1－x2|1＋k(x1＋x2)－4x1x2 21＝1＋k －4×(－1)＝k＋k＋16. 2 2k2＋161k＋k＋16，
(11分)
84
