?(?)?H0()?() （3-3-8）
22?(?)?H1()?() （3-3-9） 22其中?(?),?(?)分别为?(t)和?(t)的傅里叶变换。
由二尺度方程可见，滤波器组系数h0(n)和h1(n)（或H0(?)和H1(?)）描述了两尺度空间函数之间的内在联系，并且唯一地对应于?(t)和?(t)。在后面的介绍中，将会看到，它们具有非常明确的物理概念和非常重要的使用价值。
实际上，很多的工程应用场合中，对尺度函数和小波函数已经不再关心，只通过滤波器组系数与待分析信号或图像的卷积运算就可以完成信号的处理过程。 3.3.2 滤波器组系数h0(n)和h1(n)的性质
由式（3-3-1），（3-3-2）（或（3-3-4），（3-3-5））可引伸出h0(n)和h1(n)，以及
?????(t)和?(t)间许多有益的性质。
（1）h0(n)和h1(n)的总和
?h(n)?0n2 （3-3-10）
?h(n)?0 （3-3-11）
1n（2）频域初值
H0(??0)?1 （3-3-12）
H1(??0)?0 （3-3-13）
由上可知，H0(?)为低通滤波器，H1(?)为高通滤波器，它们分别对应于尺度函数的低通特性和小波函数的带通特性。
（3）递推关系
由二尺度方程的频域表示（3-3-8），（3-3-9）可知，?(?),?(?)与
H0(?),H1(?)之间还有下述关系：
?(?)??H0(2?j?) （3-3-14）
j?1??(?)?H1()?H0(2?j?) （3-3-15）
2j?2（4）h0(n)和h1(n)的正交性
系数h0(n)，h1(n)以及滤波器h0(n)与h1(n)之间都是偶次移位正交的：
???h0(n?2k),h0(n?2l)???(k?l) （3-3-16）
?h1(n?2k),h1(n?2l)???(k?l) （3-3-17）
?h0(n?2k),h1(n?2l)??0 (3-3-18）
（5）滤波器H0(?),H1(?)的特性 滤波器H0(?),H1(?)满足下式：
H0(?)?H0(???)?1 （3-3-19）
H1(?)?H1(???)?1 （3-3-20）
2222H0(?)H1(?)?H0(???)H1(???)?0 （3-3-21）
6）能量无损
由于对空间V0的剖分具有完整性，因此V0空间的总能量应等于各小波空间
Wj(j?1,?,?)。即
?(?)???(2?)jj?12?2 （3-3-22）
由此还可引伸出
?(?)???(2?)??(2?) （3-3-23）
jJj?12J22三、由滤波器组系数构造小波基
由MRA可知，尺度函数
?(t)和小波函数?(t)满足二尺度方程，利用二尺度方程
2L(R)空间的基。因此要构造一以构造出小波母函数，通过伸缩和平移就得到整个
L2(R)空间的正交小波基，关键是要找到尺度函数?(t)。如果直接寻找函数?(t再来确定滤波器系数h0(n)是不容易的；相反，若h0(n)已确定，再来构造容易些。
3.4.1由h0(n)求尺度函数?(t) 基础就是式（3-3-14）如下：
?(t)?(?)??H0(2?j?) （3-3-14）
j?1?1?(t)?反变换后得 2?这种由h0求
?R?ji?tH(2?)ed? ?0j?1??的方法虽有理论意义，但不便于数值计算。一般地说多数情况是无法
解析解的，只能通过作迭代数值卷积来求?(t)。 设
H(J)(z)??H0(z) （3-4-1）
j?0J?12j则一个有限长的H0(z)经式（3-4-1）处理后长度将变大。若H0(z)的冲激响应原
(J)'JH(z)L?(2?1)(L?1)?1。为L点，经上述处理后对应的冲激响应长度变成
是对式（3-3-14）迭代数值求解的基本原理，具体步骤如下： （1） 先直接通过卷积得到H(l)(z)对应的冲激响应h(n)。
(l)2?1,3,3,1?，则 例如可设h0(n)?8当l?1时，H(1)(z)?H0(z)H0(z)，
22?2???h1(n)????8????2?????8???2?1,3,3,1???1,0,3,0,3,0,1??1,3,6,10,12,12,10,6,3,1?
(2)(1)4H(z)?H(z)H(z)， 当l?2时，0?h(2)(n)???h(1)(n)???1,0,0,0,3,0,0,0,3,0,0,0,1??2???1,3,6,10,15,21,28,36,42,48,48,42,36,28,21,15,10,6,3,1? ???8???(l)h(n)连成一条阶梯曲线，（2）把再把曲线的横坐标区间压回到[0,L?1]内，
3形成新的曲线
f(l)(t)。
(l)l??f(t)就可能趋于连续函数?(t)，而且可以证明所得（3）当时，
的?(t)满足二尺度方程。
然而，并不是上述过程必定能产生连续曲线。有时过程并不收敛，这就涉及到了对?(t)的光滑性要求，即正规性条件。 3.4.2 正规性条件
Daubechies对此进行了较深入的研究，并总结出为保证上述过程收敛所应满足的正规性条件。结论如下：
判据：要使上述过程收敛成连续曲线，H0(z)应满足下述条件： （1）当z（2）当
?1，即??0时，H0(z?1)?1。
?1z??1，即???时，H0要有零点，其阶次越高越好。也就
???F0(z)，且F0(z??1)?0。 ?p?1?z是说H0(z)应能表示成：H0(z)???2?p?1F(z?1)?1sup|F(z)|?2（3）上式中0，且。 0不同学者还提出一些其他判断正规性的判据，但Daubechies的上述判据比较实用。
3.4.3 Daubechies小波
Daubechies根据上述的正规性要求提出一些能满足要求的H0(z)设计法：
?1?e?条件（2）表示成傅立叶变换的形式H0(?)???2关键是要寻找满足条件的
?j??j??F(e)，那么?0?LF0(e)。
j?
