设
F0(e)取cos?多项式
j?2?L?1?F0(e)????jj?0?j?2p?1j??1?cos??????2???j （3-4-2）
?L?1?式中??j?j???是从L?1?j中每次取?j可能得到的组合数目。
j?由上式可知，只要
L值给定，F(e0)就可确定。又由于F0(e)的相
2j?2应Z变换是F0(z)F0(z?1)，因此从其Z变换的每对互为倒数的零点中取一
个便可组成F0(z)。Daubechies按这一方法设计了一组滤波器，由这组滤波器不难求出h1(n)以及?(t)和?(t)来。
Daubechies由以上方法设计得到的小波都是紧支撑小波，以下我们讨论紧支撑小质。
3.4.4 紧支撑小波的性质 （1） 支撑大小
不同L下尺度函数的支撑为supp?L其
相
应
的
小
波
?[0,2L?1]?[0,N]
母
函
数
的
支
撑
为
supp?L?[?(2L?2),2L?1]?[?(N?1),N]
（2）对称性问题
尽管紧支撑小波有“支撑紧”的优点，但是它一般没有对称性。除Haar小波外，其他所有连续的紧支撑小波及其尺度函数都不具备任何对称性。 （3）光滑性问题
紧支撑的多尺度生成元?(t)的光滑性也较差。
一般用光滑度指数?来衡量一个函数的光滑度大小。如果函数?(t)具有K阶连续导数，则称其光滑度指数
??K，将K推广到实数范围：若
|?(?)|?(1?|?|)1??dw??成立，??R，??0，则函数?(t)具有?阶光
滑度。可见，若
?减小，|?(?)|当|?|??时的衰减较慢，即?(t)的
频域局部性较差；然而，要增加?(t)的光滑度，必然要增加支撑长度，即时域支撑变长，这时其光滑度及频域局部性变好。
为了改进光滑度与支撑长度之间的关系，Daubechies给出了一种改造后的紧支撑波基。
（4）消失矩特性
小波的消失矩定义如下；若
m?(t)tdt?0； m?0,1,?,M?1 ?则称小波?(t)具有M阶消失矩。
小波的消失矩特性是函数在小波展开时消去了其低阶平滑部分，因此小波系数将仅
函数的高阶变化部分，使我们能研究函数的高阶变化和某些高阶导数中可能的奇异性
在对信号进行小波变换时，总希望所选小波基能同时满足上述性质，然而要想使一个小波基同时具有以上特性往往是不可能的，所以在应用中只能根据具体的要求来选择合适的小波基。 3.4.5 双正交小波基[6-8]
已经证明，除了Haar小波外，所有可用的具有紧支撑特性的正交小波基都不具有对
也就是说正交小波对应的滤波器组不具有线性相位。为了寻找具有对称性的紧支撑
组实现信号的小波分解，一种途径就是适当放松对滤波器正交性的要求，采用双正器组。
由于取消了正交条件，设计的自由度固然加大，但设计上的考虑也更多。特别是需要从滤波器组得到连续的小波函数及尺度函数，这时保证收敛的条件也更复杂。具体设计思路与Daubechies小波的设计类似。
总 结
1: 多分辨率分析概念：
多分辨率分析的尺度函数和尺度空间 小波函数和小波空间
推广到二维多分辨率分析的情形
2: 二尺度方程与多分辨率滤波器组
二尺度方程——小波的构造和应用的理论基础 滤波器组系数——小波构造和应用的直接对象 3: 小波基的构造与性质
正交小波基的构造思想 小波基的性质
Mallat算法
离散时间序列的快速小波变换算法
预备知识
从工程技术的角度来理解小波变换，可把小波变换的结果看作是输入序列对一个离散系统激励所产生的输出响应，而且输出响应的计算过程是和多采样率信号处理密切联系的，因此本节介绍离散系统的一些基础知识，以及多采样率信号处理的一些基本关系。 3.1.1离散系统与冲激响应
一个离散时间系统，可以抽象为一种变换，或是一种映射，即把输入序列
x(n)变换为输出序列y(n)：
y(n)?T[x(n)] (3-1-1)
式中
T代表变换。这样，一个离散时间系统的输入、输出关系可用下图表示：
x(n) T[x(n)] y(n)
3.1.1 离散时间系统
若令输入信号x(n)??(n)，那么，这时的输出y(n)是由单位冲激序列
?(n)激励该系统所产生的响应，因此，称这时的y(n)为系统的单位冲激响应，
并记之为h(n)。h(n)反映了系统的固有特征，它是离散系统的一个重要参数。对于离散系统，只要知道了它的冲激响应h(n)，它对任何输入的采样数据x(n)的响应就可以用冲激响应表示为：
y(n)?h(n)*x(n)?k????h(n)x(n?k) (3-1-2)
?以冲激响应h(n)的长度来划分，数字滤波器可分为基本的两类：
有限冲激响应（Finite Impulse Response, FIR）滤波器和无限冲激响应（Infinite Impulse Response, IIR）滤波器。 对一个离散时间系统的几种描述方法:
1．频率响应
H(ej?)??h(n)e?j?nn?0?? (3-1-3)
2. 转移函数
H(z)??h(n)zn?0?n (3-1-4)
3. 卷积关系
y(n)?h(n)*x(?n?)?k???h(n)?x( nk (3-1-
3.1.2多采样率信号处理的一些基本关系
1. 插值
插值时的波形和符号如图3.1.2所示。 0
1 2
X(ω) x(n) x(n) 3
(a) x(n)
y(n) 2 n ?2? ?? 0
? Y(ω) 2?
(b) 插值符号
(a) x(n)的频域波形
y(n)
0
1 2
3 4 5 6
(c) y(n)
图3.1.2 插值时的波形及符号
7
n ?2? ?? 0
? 2?
(b) y(n)的频域波形 图3.1.3 插值的频域波形
