小 波 分 析 及 应 用
第一部分 引 言 小波分析及应用 傅立叶分析的有效性
19世纪，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，用信号的频谱特性去分析时域内难以看清的问题，解决了很多物理和工程学方面的问题。这个突破使得科学家们和工程师们开始考虑如何将傅立叶变换作为分析各种现象的最佳工具。这种普遍性迫使人们开始进一步研究这种方法。 问题及大胆设想
直到20世纪即将结束时，数学家、物理学家和工程师们才开始认识到傅立叶变换的缺点：它们在分析短时信号或突变信号时，效果并不理想。
在整个20世纪的过程中，各个领域的科学家们都试图突破上述这些障碍。从本质上讲，科学家们往往想同时获取到低分辨率的森林——重复的背景信号；以及高分辨率的树——个体的、在背景上的局部变化。他们提出了大胆的设想：也许通过将一个信号分割成并非纯正弦波的元素，就可以同时在时间和频率两方面对信息进行描述。 问题的解决
小波变换是傅里叶变换的新发展，它既保留了傅里叶变换的优点，又弥补了傅里叶变换在信号分析上的一些不足。原则上讲，小波变换适用于以往一切傅里叶变换应用的领域。但小波变换并不是万能的，作为一种数学工具，小波变换（分析）有其特定的应用范围，即面向更能发挥小波分析优势的时间—频率局域性问题。
本课程的内容安排
理论部分 第二部分从傅里叶变换开始，沿着傅里叶变换→短时傅里叶变换→小波变换的发展轨迹，从物理直观的角度对其逐一进行介绍，引出小波变换的概念；然后对小波变换的基本理论进行了详细的讲解；
第三部分首先介绍多分辨分析和多分辨率滤波器组的概念，在此基础上讲解由滤波器组系数构造小波基的方法，最后给出对信号和图像进行小波变换的Mallat算法；
第四部分介绍小波理论的最新进展和发展方向：多小波；M带小波和提升框架等；
应用部分 第五部分在给出小波域滤波基本原理的基础上，介绍三种小波滤波方法——模极大值重构滤波、空域相关滤波和基于阈值的小波域滤波方法，并对这三种方法进行分析和比较；
第六部分对经典小波滤波方法的改进、较新的进展及发展趋势进行介绍； 第七部分对目前国内外小波分析软件应用领域的情况进行总结，着重介绍我们开发的小波分析领域通用信号处理软件系统——“小波软体”（Wavesoft），对其安装、运行、操作进行说明、演示；最后给出几个小波滤波方法的应用实例。
参考教材
1. 彭玉华，小波变换与工程应用，科学出版社，2000. 2. 杨福生，小波变换的工程分析与应用，科学出版社，2001. 3. 程正兴，小波分析算法与应用，西安交通大学出版社，1998. 4. 张贤达，现代信号处理，清华大学出版社，北京，1988.
5. 赵松年，熊小芸，子波变换与子波分析，电子工业出版社，北京，1997. 6. 王欣，王得隽，离散信号的滤波，电子工业出版社，北京，2002. 7. 李建平，唐远炎，小波分析方法的应用，重庆大学出版社，1999. 8. 徐佩霞，孙功宪，小波分析与应用实例，中国科学技术大学出版社，2001. 9. 李弼程，罗建书，小波分析及其应用，电子工业出版社，2003.
第一节 小波理论的发展 小波理论的原始思想可追溯到上个世纪初。20世纪80年代中后期，小波理论的进入了发展高潮。
1807年，法国数学家傅立叶声称，任何可重复的波形（或周期性的函数）都可以以一个不同频率的正弦波和余弦波的无限和的形式来表达。由于人们对他的概念的正确性有着极大的怀疑，他的论文直到15年后才被发表。到19世纪末，傅立叶的理论已经在科学界大行其道。
1909年，从事小波研究不久的匈牙利数学家Haar发现了一个函数，它由一个短的正脉冲接着一个短的负脉冲构成。这是最早的小波。
1930年，剑桥大学的英国数学家Littlewood和Paley开发出一种利用八度音阶将频率分组的方法，这是按二进制对频率成分进行分组的傅立叶分析思想的最早起源。
1946年，一个匈牙利裔的英国物理学家Gabor又提出了Gabor变换，其与傅立叶变换有着相似之处。可以将一个波分成“时间—频率包”，在时间和频率上进行同时定位的可能性大大增加了。
在20世纪70年代和20世纪80年代期间，信号处理和图像处理方面的进展都可以用小波变换作为理论基础，看成是从不同角度应用小波所得的特例。如：金字塔式图像压缩编码概念，通信及语音处理中的子带编码，计算机视觉中的多分辨分析等。
1981年，法国的地球物理学家Morlet提出了自己的分析震波信号的方法，利用一个宽度可自适应调整的窗函数来对不同频率的信息进行定位，该函数被他称为“恒定形状小波”。当时不能被人接受，后来他向量子物理学家Grossmann寻求帮助，为其小波变换找到合理完整的数学理论根据。
1984年，由Morlet和Grossmann共同撰写的论文将“小波”这个词第一次带进了数学词典。
