在性[1]。
若
??(t?n)|n?Z?为空间V0的正交基，则根据式（3-2-2）有，
j????j2??j,n(t)?2?(2t?n)|n?Z?必为子空间Vj的标准正交基。 ??称
?(t) 为多分辨率分析的尺度函数（Scaling Function）
Vj
为尺度为
j的尺度空间
由多分辨率的定义知，所有的闭子空间{Vj}j?Z都是由同一函数?(t)伸缩后的平移系列张成的尺度空间。 3.2.2 小波函数与小波空间
有了尺度空间，再来看看小波空间。记Vj在Vj?1的补空间为Wj，即
Vj?1?Vj?Wj，Wj?Vj （3-2-6）
显然，任意子空间Wm和Wn（可知
m?n）是相互正交的；并且，由性质1和4
?Wj?L2(R) （3-2-7）
j2{W}L(R)的一系列正交子空间。若f(t)?W0，显然有因此，jj?Z是
f(2?jt)?Wj。
若设
??0,k|k?Z?是空间W0的
Riesz基，那么可知对于任意尺度
j，
j????j2??j,k?2?(2t?k);k?Z?必为空间Wj的Riesz基。再由式（3-2-7）??2?;j?Z,k?Z?必然构成了L(R)的一组可得，?j,k的整个集合?j,k正交基。
与尺度函数的定义类似： 称
?为小波函数，Wj是尺度为
j的小波空间。
f显然，小波空间是两个相邻尺度空间的差，也就是说空间Wj包含了函数
投影到尺度空间Vj与Vj?1间的细节差别，因此小波空间有时又称为细节空间。 由以上的分析可知，多分辨率分析的核心是V0，W0空间的标准正交基
?(t?k)，?(t?k),k?Z。只要它们已知，分析就可以逐级进行。而要
找到这两组正交归一基，其关键是找到合适的尺度函数?(t)和小波函数?(t)，
即尺度函数和小波函数的构造问题。 3.2.3 二维多分辨率分析
L2R2Vj2??的子空间列，它们满足式（3-2-1）到（3-2-5）的直接推广形式。设
?j?Z?是L?R?的一个子空间，信号f?x,y?在分辨率2?j的近似等于
2222LR一维多分辨率分析可以很容易推广到二维。
??的多分辨率分析是
信号在向量空间V2j上的正交投影。
二维多分辨分析可分为可分离与不可分离两种。类似于一维多分辨分析，在二维情况下存在着二维尺度函数?二维多分辨分析的标准正交基。
?x,y?，使其伸缩和平移??j,m,n(x,y)?构成
?j,m,n(x,y)?2j??2jx?n,2jy?m?，j,m,n?Z （3-2-8）
2222V?V?VV设j“?”表示张量积，则j为LRjj，
??的多分辨分析的
充要条件是Vj小波：
?j?Z?为L2?R?的一个多分辨率分析。我们讨论可分离的二维
222??Vj?Z??的可分离多分辨率分析，LR设j是
??x,y?=??x???y? （3-2-9）
??x,y????x???y?是相应的二维尺度函数，??x?是一维多分辨分析中
与??x?对应的小波函数，则有
??x,y????x???y? （3-2-10）
1??x,y????x???y? （3-2-11）
2??x,y????x???y? （3-2-12）
3的平移和伸缩
?2j??2jx?n,2jy?m?m,n,j?Z,i?1,2,3?是
L2R2??的标准正交基。记
?1j,m,n(x,y)?2j?1?2jx?n,2jy?m? （3-2-13）
j2jj?2(x,y)?2?2x?n,2y?m? （3-2-14） ?j,m,nj3jj?3(x,y)?2?2x?n,2y?m? （3-2-15） ?j,m,n对二维图像
f?x,y??L2(R2)，可定义其离散小波变换为：
d123Af,(Df),(Df),(D??Jj?J?j?1j?J?j?1jf)?J?j?1?
构成信号
f(x,y)的二维正交分解。其中
Adjf??f(x,y),?j,m,n?1Djf? m,n?Z??f(x,y),?1j,m,nf(x,y),?3j,m,n?m,n?Z
D2jf??f(x,y),?2j,m,n?3D jf?m,n?Z?m,n?ZDfD2jf1j 给出 给出 给出
f(x,y)垂直方向的高频分量的小波分解系数，
f(x,y)水平方向的高频分量的小波分解系数， f(x,y)对角分量的高频小波分解系数。
二、 二尺度方程与多分辨率滤波器组
Df
3j为了对构造尺度函数和小波函数的进一步讨论，在本节首先介绍它们最基本的性质——二尺度方程进行，然后给出滤波器组系数的性质。 3.3.1 二尺度方程
二尺度方程是多分辨率分析赋予尺度函数?(t)，小波函数?(t)的最基本特征，它描述的是两个相邻尺度空间Vj?1和Vj，或相邻的尺度空间Vj?1和小波空间Wj的基函数?j?1,k(t)，?j,k(t)和?j?1,k(t)，?j,k(t)之间的内在联系。 由多分辨率分析概念可知，?(t),?(t)分别为尺度空间V0和小波空间W0的标准正交基。又由于V0?V?1,W0?V?1，所以?(t),?(t)也必然属于V?1空
间，也就是说?(t),?(t)可用V?1空间的正交基??1,n(t)线性展开：
?(t)??h0(n)??1,n(t)?2?h0(n)?(2t?n) （3-3-1）
nn?(t)??h1(n)??1,n(t)?2?h1(n)?(2t?n) （3-3-2）
nn式（3-3-1），（3-3-2）描述的是相邻二尺度空间基函数之间的关系，称此二式为二尺度方程。其中系数h0(n),h1(n)是线性组合的权重，它们的值为：
h0(n)???,??1,n? h1(n)???,??1,n? （3-3-3）
事实上，二尺度方程存在于任意相邻尺度
j,j?1之间，即
?j,0(t)??h0(n)?j?1,n(t) （3-3-4）
n?j,0(t)??h1(n)?j?1,n(t) （3-3-5）
n并且系数h0(n),h1(n)不随尺度j的变化而变化。也就是说，h0和h1式由尺度函数?(t)和小波函数?(t)决定的，与具体尺度无关。
以下我们称h0和h1为滤波器系数。
设H0(?)为h0(n)的傅里叶变换，H1(?)为h1(n)的傅里叶变换，它们都是以
2?为周期的周期函数：
H0(?)?H1(?)?11h(n)e?20nn?j?n （3-3-6）
2?j?nh(n)e?1 （3-3-7）
则二尺度方程（3-3-1），（3-3-2）的频域表示为
