图2.2.2 离散二进小波变换分解
对任意较粗的尺度
2
J
，离散信号序列
?S称为原始信号
jf,(Wjf)1?j?J?
f的离散二进小波变换。
jHH其中，j（Gj）表示0（G0）的2尺度膨胀（即在滤波系数间插入
2?1个零）。
重构过程是分解过程的逆过程，只需将分解滤波器组换为重构滤波器组[18] 如果原始信号有N个点，设分解的最大尺度为J速算法的计算复杂度为?(Nlog2也同样为?(Nlog2j?log2N?1，则该快
N)。反变换是正变换的逆过程，其计算量
N)。
二维图像的二进小波变换
kk?(x,y)?需通过几个小波分别表示不同的空域方1?k?K来计算，其中
向。一般情况下，取kk2j?1,2分别表示水平和垂直方向。记
1k?xy?k?(x,y)?j??j,j?，?2kj(x,y)??2j(?x,?y) （2
2?22?-2-15）
则
f?L(R)在方向k22的小波变换定义为
kkWkf(u,v,2j)?f(x,y),?2(x?u,y?u)?f??(u,v) j2j（2-2-16）
1122???(?,?)?(?,?)?(x,y)?(x,y)的傅立设和xy和xy分别为
叶变换，若存在常数
??A?0和B使得以下不等式成立
221jj1jj??(2?x,2?y)???(2?x,2?y)?A??????B
?j????（2-2-17）
k?(x,y)为二进小波，相应地，式（2-2-16）定义的小波变换为二进小波则称
变换。
信号的二进小波变换是完备且稳定的 原信号可由其小波变换完全重构。
类似地，用于一维信号离散二进小波分解的à trous算法可推广到二维的情况，即二维à trous算法，分解结构如图2.2.3所示。Hj（Gj）和H0（G0）的意义同图2.2.2。
图2.2.3 二维离散二进小波分解
2N类似于一维情况，原始图像有个象素点，设分解的最大尺度为
J?log2N?1，则该快速算法的计算复杂度为?(N2log2N)。反变换是
2?(Nlog2N)。 正变换的逆过程，其计算量也同样为
2.2.3 小波框架
小波变换进行离散化的一般情形： 小波基函数
?a,b(t)的尺度因子a和位移因子b都只限定在某些离散点
上取值。一种最通常的离散方法如下：尺度因子按幂级数进行离散化，位移因子在尺度内进行均匀离散化，在尺度间具有幂次关系，即有
mma?a0,b?nb0a0;a0?1,b0?0,m,n?Z
小波基函数形式：
mt?nb0a0?m2?m?m,n(t)??()?a0?(a0t?nb0)mm （2-a0a012-18）
任意函数
f(t)的离散小波变换为
Wf(m,n)?f(t),?m,n(t)??f(t)?*m,n(t)dtR?a?m20?Rf(t)?(at?n?0)dt*?m0 （2-2-19）
连续小波变换域的离散化时考虑的问题
1．离散小波系数Wf(m,n)是否可以完全表征原函数？
2．能否从Wf(m,n)以数值稳定的方法重建原信号？ 为解决这些问题，利用小波框架的思想来研究离散小波变换。 框架的一般定义：
设H是一个Hilbert空间，{任意函数
?j}j?Z是H中的一个函数序列，如果对于
222
f?H，存在0?A?B??，使得下述不等式成立：
Af22??j?Zf,?j?Bf （2-2-20）
?j}j?Z为一个框架，其中A,则称{如果
B分别为框架的上、下界。
A?B，有如下等式成立：
?j?Zf,?j2?Af22 （2-2-21）
则称该框架为一个紧框架。
如果约束条件更强
A?B?1，则{?j}j?Z就构成了一组正交基。
?j2如果对所有的?j还都有?1，?j}j?Z就是一组规范正交基。那么{
在紧框架的情形下，可由下式完全重构原函数：
f?A?1?f,?j?j （2-2-22）
j 在非紧框架的情形下，可由下式完全重构原函数：
?j （2-2-23） f??f,?j?j?j}j?Z是{?j}j?Z的对偶框架。 ?其中{对偶框架的严谨数学推导是相当复杂的，一般在
A与B比较接近时，取
2?j??j，从而重构式变为 ?j}j?Z的一阶近似形式：?{?A?B2f?f,?j?j? （2-2-24） A?Bj当然，这样的重构必然是有误差的。因此实际应用中希望
只要将框架定义中的函数序列{A与B非常接近。
?j}j?Z替换为小波基函数族{?m,n}，就
得到小波框架的定义，其稳定性条件、小波紧框架、正交小波基、标准正交小波基、对偶小波框架等都可以类似得到。
同样地，在小波紧框架的情形下，可由类似式（2-2-22）的形式完全重构原函数；在小波非紧框架的情形下，可由类似式（2-2-23）的形式完全重构原函数，或者类似式（2-2-24）的形式得到原函数的逼近。
事实上，二进小波本质上也是一种框架，只是参数的选取情况为
a0?2,b0?0；而且可以证明如下结论：若?满足二进小波变换的稳定性条
件式（2-2-11），则它必满足小波框架的稳定性条件式（2-2-20）。这表明，小波框架是包容二进小波的。
