⒈ 将技术要素作为一个不变参数的生产函数模型
在C—D生产函数和不变替代弹性模型中，已经引入了技术要素，但是仅仅将它作为独立于其它投入要素之外的一个不变的参数。其基本假设是：技术进步是广义的；技术进步是中性的；技术进步改变了由其它投入要素的数量决定的生产活动的效率；技术进步的作用在所有样本点上都是相同的。
⒉ 改进的C-D、CES生产函数模型
在改进的C-D、CES生产函数模型中，作为资本和劳动产出弹性的参数不随样本点变化，这就是说技术进步不是节约资本型和节约劳动型，而是中性的。 ⒊ 含体现型技术进步的生产函数模型
技术进步要素中有一部分是体现为资本、劳动等要素质量的提高，而资本、劳动等要素质量的提高使得相同数量的要素投入量具有不同的产出效果。所以，如果能将体现为资本、劳动等要素质量提高的技术进步因素从广义技术进步中分离出来，无论是对技术进步的作用机制描述，还是对技术进步作用的数量描述都是十分重要的。由Solow于1964年首先提出并由Nelson于1964年补充应用的含体现型技术进步的生产函数模型（也称为Solow-Nelton同期模型），就是在这个思路下发展起来的，是生产函数模型的一个重大进展。 ⑴ 总量增长方程
?YY?YY?YY??AA?A?A??A??A?????KK???LL
⑵ 分离资本质量的含体现型技术进步的生产函数模型
???(????a??KK)???LL
⑶ 分离劳动质量的含体现型技术进步的生产函数模型
???(????a??KK)??(????b??LL)
⒋ 边界生产函数模型
边界生产函数按照边界的性质分为确定性边界生产函数和随机边界生产函数两大类。 确定性边界生产函数把影响产出量的不可控因素（例如观测误差、方程设定误差等）和可控因素（例如生产非效率因素）不加区别，统统归入一个单侧的误差项中，作为对非效率的反映。其模型可以写成： Y?f(K,L,?)e?u (u?0)
随机边界生产函数把影响产出量的不可控因素和可控因素加以区别。其模型可以写成： Y?f(K,L,?)ev?u?(f(K,L,?)e)ev?u
7-5．在选择模型类型、变量和函数形式时，各应考虑哪些因素？
在建立与应用模型过程中有许多实际问题需要认真处理，其中较为突出的是数据质量问题。
⒈ 样本数据的一致性问题
可以作为生产函数模型样本数据的有两类：时间序列数据和截面数据。在选择哪类数据作样本时，需要特别注意一致性问题。 ⒉ 样本数据的准确性问题
在生产函数模型估计中，经常遇到样本数据口径不一致的问题。处理的方法，一是按照最小口径建立模型，然后在应用中对全口径进行估算；二是利用其它信息对样本数据首先进
行调整，然后再估计模型。
⒊ 样本数据的可比性问题
在生产函数模型估计中，更严重的问题是样本数据的可比性问题，主要表现是在不同的样本点上，实际相同的产出量或要素投入量出现不同的观测值数据。
7-6．扩展的线性支出系统需求函数模型(ELES)
为克服LES（线性支出系统需求函数模型）在估计上的困难，1973年Liuch对LES作了两点修改，提出了扩展的线性支出系统需求函数模型。这两点修改是：以收入I代替预算
V；将bi的概念由边际预算份额改为边际消费倾向。于是模型表达式为：
qi?ri?bipi(I??jpjrj) i?1,2,?,n
其中待估参数为基本需求量ri和边际消费倾向bi。按照它们的经济意义，应该有：
ri?0 0?bi?1
?bii?1由收入和价格的样本观测值可以对模型进行估计。扩展的线性支出系统需求函数模型具有0阶齐次性。
7-7．简述C—D生产函数和CES生产函数的特点以及各自的估计方法，熟练应用C—D、CES生产函数模型及其改进型。 C—D生产函数：
对于C-D生产函数模型及其改进型，两边取对数，即可化成线性模型，然后采用单方程线性计量经济学模型的估计方法估计其参数。但是其假设条件是随机误差项可以作为方程的一个因子与理论模型相乘，即模型的计量经济学型态为：
Y?AKL?
如果随机误差项作为方程的一个因子与理论模型相加，即
Y?AKL??
则要采用非线性模型的估计方法估计其参数。在实际应用中，都假设为前一种情况。 CES生产函数：
对CES生产函数模型 Y?A(?1K????????2L??)?m1?
为一个关于参数的非线性模型，采用简单的方法难以化为线性模型。自1961年以来，关于它的估计问题有许多研究，主要有两类方法，即利用边际生产力条件的估计方法和直接估计
方法。
边际生产力条件，即当生产活动处于均衡的情况下，存在：
?Y?K?rp?Y?L?wp
其中r,w,p分别表示资本的利率、劳动的工资率和产出品的价格。将该条件应用于，经过适当的变换，可以得到线性计量经济学方程。由于边际生产力条件与实际生产活动有较大距离，在实际上我们基本不采用这类估计方法。顺便指出，对其它形式的生产函数模型，从理论上讲，也可以利用边际生产力条件进行估计，所以我们称其为“一类”估计方法。
直接估计方法。将C-D生产函数模型的计量型态假设为：
Y?A(?1K????2L??)?m1??
两边取对数，得到： lnY?lnA?m?ln(?1K????2L??)??
将其中的 ln(?1K????2L??)在??0处展开台劳级数，取0阶、1阶和2阶项，得到： lnY?lnA??1mlnK??2mlnL?12?m?1?2(ln(KL))??
2(5. 1.35)为一个简单线性模型，通过变量置换，可以表示成： Z??0??1X1??2X2??3X3??
采用单方程模型的估计方法，得到?0,?1,?2,?3的估计值，利用对应关系和?1??2?1，可以计算得到关于参数A,?,m,?1,?2的估计值。
选择在??0处展开台劳级数，是因为当??0时，要素替代弹性等于1，即模型退化为C-D生产函数，由于C-D生产函数的普遍适用性，所以可以假定?为接近于0的数。当参数估计完成后，可以根据?的估计值是否接近于0来检验这种估计方法的可用性。
从上式可以看出，当??0时，方程为：
lnY?lnA??1mlnK??2mlnL??
即为C-D生产函数模型。所以可以认为CES生产函数模型是对C-D生产函数模型的修正。
7-8．根据包含内容的多少，技术进步可以分为广义技术进步与狭义技术进步。
狭义技术进步仅指要素质量的提高。例如，由于性能的改进，同样数量的资本在生产过程中的贡献是不一样的；由于文化水平的提高，同样数量的劳动在生产过程中的贡献是不一样的。狭义的技术进步是体现在要素上的，它可以通过要素的“等价数量”来表示。例如，如果一个具有大学文化水平的劳动者对产出量的贡献是一个具有中学文化水平劳动者的3倍，那么就可以将一个具有大学文化水平的劳动者等价于3个具有中学文化水平劳动者，求得“等价劳动数量”，作为生产函数模型的样本观测值，以这样的方法来引入技术进步因素。广义技术进步除了要素质量的提高外还包括管理水平的提高等对产出量具有重要影响的因素，这些因素是独立于要素之外的。
另一种对于技术进步的考虑是基于产出弹性比的，称为中性技术进步。
假设在生产活动中除了技术以外，只有资本与劳动两种要素，定义两要素的产出弹性之比为相对资本密集度，用ω表示。即
??EL/EK
如果技术进步使得ω越来越大，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得快，则称之为节约劳动型技术进步；如果技术进步使得ω越来越小，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得慢，则称之为节约资本型技术进步；如果技术进步前后ω不变，即劳动的产出弹性与资本的产出弹性同步增长，则称之为中性技术进步。
在中性技术进步中，如果要素之比K/L不随时间变化，则称为希克斯中性技术进步；如果劳动产出率Y/L不随时间变化，则称为索洛中性技术进步；如果资本产出率Y/K不随时间变化，则称为哈罗德中性技术进步。
不同的技术进步类型是建立生产函数模型时必须要考虑的重要因素，对生产函数模型将产生重要影响。
7-9．消费函数与需求函数的研究内容有何不同？熟悉消费者行为理论的几种基本假说及由其导出的消费函数模型，能够解释各种消费函数的理论模型并推导出模型的一般形式。
消费理论旨在研究消费行为。这里的消费指消费总量，而不是对具体商品或服务的消费需求，这是它有别于需求理论的主要之点。它的研究对象可以是一个国家、一个群体，甚至一个个体，但一定是对象的总消费。消费函数模型是关于研究对象的总消费与影响因素，主要是可支配的总收入之间关系的数学表达式。 ⒈ 绝对收入假设消费函数模型 ⑴ 绝对收入假设消费函数模型
Keynesian认为，消费是由收入唯一决定的，消费与收入之间存在着稳定的函数关系。随着收入的增加，消费将增加，但消费的增长低于收入的增长，即边际消费倾向递减。根据这一理论假设，可以建立如下消费函数模型：
Ct????Yt??t t?1,2,?,T
其中C表示消费额，Y表示收入，?,?为待估参数。从经济意义上讲，?为自发性消费，
?为边际消费倾向，于是有：
0???1，??0
⑵ 关于绝对收入假设消费函数模型的讨论
上述模型表达了Keynesian的消费是由收入唯一决定的假设，但是由于边际消费倾向?为常数，并没有真正反映边际消费倾向递减规律。但是
2 Ct????0Yt??1Yt??t t?1,2,?,T
可以较好地反映边际消费倾向递减规律，并且仍然有很方便地采用单方程模型的估计方法估计其参数。
⒉ 相对收入假设消费函数模型
⑴ “示范性”假设消费函数模型
Duesenberry认为，消费者的消费行为不仅受自身收入的影响，也受周围人的消费水平
的影响。由消费的“示范性”，个人的平均消费倾向不仅与收入有关，而且与个人所处的群体的收入分布有关，在收入分布中处于低收入的个人，往往有较高的消费倾向。即
CiYi??0??1YiYi
其中Yi为该消费者所处的群体的平均收入水平。当?0,?1,Y一定时，对于较低的Yi，其
Ci/Yi较高。这就是“示范性”的作用。上式的计量形态可表示为：
Ci??0Yi??1Yi??i i?1,2,?,n
其中待估参数0??0?1，反映个人的边际消费倾向；0??1?1，反映群体平均收
入水平对个体消费的影响。
⑵ “不可逆性”假设消费函数模型
Duesenberry认为，消费者的消费支出水平不仅受当前收入的影响，也受自己历史上曾经实现的的消费水平的影响。由消费的“不可逆性”，当前的平均消费倾向不仅与收入有关，而且与所曾经达到的消费水平，即曾经达到的最高收入水平有关，当前收入低于曾经达到的最高收入时，往往有较高的消费倾向。即
CtYt??0??1Y0Yt
其中Y0为该消费者曾经达到的最高收入水平。从上式可以看出，当?0,?1,Y0一定时，对于较低的Yt，其Ct/Yt较高。这就是“不可逆性”的作用。上式的计量形态可表示为： Ct??0Yt??1Y0??t t?1,2,?,T
其中待估参数0??0?1，反映当前的边际消费倾向；0??1?1，反映曾经达到的最高收入水平对当前消费的影响。
⒊ 生命周期假设消费函数模型
Modigliani，Brumberg和Ando于1954年提出，消费者现期消费不仅与现期收入有关，而且与消费者以后各期收入的期望值、开始时的资产数量和年龄有关。消费者一生中消费支出流量的现值要等于一生中各期收入流量的现值。所以，消费者的预算约束为：
T
?t?1Ct(1?r)t?1T??t?1Yt(1?r)t?1
其中r为贴现率。在预算约束下，消费者总希望将自己一生的全部收入在消费支出中进行最优分配，使得效用函数U(C1,C2,?,CT)达到最大。于是推导消费函数问题就变成下列拉格郎日函数的极值问题：
