∴OF⊥平面BCDE．
以O为原点，以OB，OC，OF为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则A（﹣∴
=（﹣
，0，，﹣
），B（，0），
，0，0），C（0，=（
，0，﹣
，0），E（﹣），
=（
，﹣
，0，0）．
，0），
设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，
∴，令y=1得=（2，1，4）．
∴=﹣2．cos＜＞==﹣．
∴直线CE与平面ABC所成角的正弦值位|cos＜＞|=．
19．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1：20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如表所示的频率分布表： [50，70） [70，90） [90，110） [110，130） [130，150） 总计 分数段（分） b 频数 a 0.25 频率 （Ⅰ）求表中a，b的值及成绩在[90，110）范围内的个体数； （Ⅱ）从样本中成绩在[100，130）内的个体中随机抽取4个个体，设其中成绩在[100，110）内的个体数为X，求X的分布列及数学期望E（X）； （Ⅲ）若把样本各分数段的频率看作总体相应各分数段的概率，现从全校高三期中考试数学成绩中随机抽取3个，求其中恰好有1个成绩及格的概率（成绩在[90，150）内为及格）． 附注：假定逐次抽取，且各次抽取互相独立．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）由茎叶图知成绩在[50，70）范围内的有2 人，成绩在[110，130）范围内的有3人，由此能求出表中a，b的值及成绩在[90，110）范围内的个体数．
（Ⅱ）由茎叶图知成绩在[100，130）内的共有7人，其中成绩在[100，110）内的共有4人，于是X的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望E（X）．
（Ⅲ）该校高三期中考试数学及格率为p=1﹣0.1﹣0.25=0.65，设随机抽取3个，其中恰有一个成绩及格的事件为A，由此能求出恰好有1个成绩及格的概率． 【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知成绩在[50，70）范围内的有2 人， 成绩在[110，130）范围内的有3人， ∴a=
=0.1，b=3，
成绩在[90，110）范围内的频率为：1﹣0.1﹣0.25﹣0.25=0.4， ∴成绩在[90，110）范围内的样本数为20×0.4=8．
（Ⅱ）由茎叶图知成绩在[100，130）内的共有7人，其中成绩在[100，110）内的共有4人，
于是X的可能取值为1，2，3，4， P（X=1）=
=
，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
P（X=4）==，
∴X的分布列为： X 1 P EX=
2 =
．
3 4 （Ⅲ）该校高三期中考试数学及格率为p=1﹣0.1﹣0.25=0.65，
设随机抽取3个，其中恰有一个成绩及格的事件为A，则根据题设有： P（A）=
20．已知椭圆
的左顶点为A1，右焦点为F2，过点F2作垂直于x轴=0.238875．
的直线交该椭圆于M、N两点，直线A1M的斜率为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若△A1MN的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为，求椭圆方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）首先，得到点M的坐标，然后，代入，得到
，从而确定其斜率关系；
（Ⅱ）首先，得到A1（﹣2c，0），然后，可以设外接圆圆心设为P（x0，0），
结合圆的性质建立等式，然后，利用弦长公式求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
因为A1（﹣a，0），所以将b2=a2﹣c2代入上式并整理得所以
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（或a=2c）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，（或）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以A1（﹣2c，0）由|PA1|=|PM|，得
，外接圆圆心设为P（x0，0）
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以△A1MN外接圆在M处切线斜率为则切线MC方程为
，设该切线与椭圆另一交点为C ，即
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
与椭圆方程3x2+4y2=12c2联立得7x2﹣18cx+11c2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 解得
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由弦长公式
﹣﹣﹣
解得c=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以椭圆方程为
得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21．已知函数f（x）=﹣x2+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣2x+2x2，讨论函数g（x）的单调性； （Ⅲ）若（Ⅱ）中函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，分类讨论，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（Ⅲ）不等式g（x1）≥mx2恒成立即为令h（x）=1﹣x+
≥m，求得
=1﹣x1+
+2x1lnx1，
+2xlnx（0＜x＜），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范
围，即可求得m的范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为当a=2时，f（x）=﹣x2+2lnx， 所以f′（x）=﹣2x+． 因为f（1）=﹣1，f'（1）=0， 所以切线方程为y=﹣1；
（Ⅱ）g（x）=x2﹣2x+alnx的导数为g′（x）=2x﹣2+=
，
a≤0，单调递增区间是（0＜a＜，单调递增区间是（0，单调递减区间是（
，
，+∞）；单调递减区间是（0，
），（）；
，+∞）；
）；
a≥，g（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间； （Ⅲ）由（II）函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）， 0＜a＜，x1+x2=1，0＜x1＜，＜x2＜1
=1﹣x1+
+2x1lnx1，
令h（x）=1﹣x++2xlnx（0＜x＜），h′（x）=+2lnx，
由0＜x＜，则＜0，
又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0，）递减， 即有h（x）＞h（）=﹣﹣ln2，即m≤﹣﹣ln2， 即有实数m的取值范围为（﹣∞，﹣﹣ln2]．
※考生注意：请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，四边形ABCD为正方形，以AB为直径 的半圆E与以C为圆心CB为半径的圆弧相交于点P，过点P作圆C的切线PF交AD于点F，连接CP． （Ⅰ）证明：CP是圆E的切线； （Ⅱ）求
的值．
