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Http://www.jyeoo.com ∴AB=2；
故答案为：2
；
（2）连接OA， ∵OA=OB，OA=OD， ∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D， ∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D， 又∵∠B=30°，∠D=20°， ∴∠DAB=50°， ∴∠BOD=2∠DAB=100°；
（3）∵∠BCO=∠A+∠D， ∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D， ∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°， 此时∠BOC=60°，∠BOD=120°， ∴∠DAC=60°， ∴△DAC∽△BOC， ∵∠BCO=90°， 即OC⊥AB， ∴AC=AB=
．
点评：此题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用． 27、（2011?苏州）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．
（1）如图①，当PA的长度等于 2
时，∠PAD=60°；当PA的长度等于 2
或
时，△PAD是等腰三角形；
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Http://www.jyeoo.com （2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），
2
把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．设P点坐标为（a，b），试求2S1S3﹣S2的最大值，并求出此时a、b的值．
考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形。 专题：几何综合题；数形结合；方程思想。 分析：（1）由AB是直径，可得∠APB=90°，然后利用三角函数即可求得PA的长；当PA=PB时，△PAB是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案． （2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，则PG⊥BC，P点坐标为（a，b），PE=b，PF=a，PG=4﹣a，利用矩形的面积关系与二次函数的知识即可求得答案． 解答：解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°， ∵AB是直径， ∴∠APB=90°， ∴PB=2， 则PA=2
，
∴当PA的长度等于2时，∠PAD=60°；
若△PAD是等腰三角形，则只能是PA=PD，
过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M， 则四边形EAMP是矩形， ∴PM=PE=AB=2， ∵PM=AM?BM=4， ∵AM+BM=4， ∴AM=2， ∴PA=2
，
2
同理可得P在P′时，PA=PB， 此时：PA=
；
∴当PA的长度等于2或时，△PAD是等腰三角形；
（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G， 则PG⊥BC，
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Http://www.jyeoo.com ∵P点坐标为（a，b）， ∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a， 在△PAD，△PAB及△PBC中， S1=2a，S2=2b，S3=8﹣2a， ∵AB为直径， ∴∠APB=90°，
∴PE=AE?BE，
2
即b=a（4﹣a），
2222
∴2S1S3﹣S2=4a（8﹣2a）﹣4b=﹣4b+16a=﹣4（a﹣2）+16，
2
∴当a=2时，b=2，2S1S3﹣S2有最大值16．
2
点评：此题考查了正方形的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题时要注意数形结合与方程思想的应用． 28、（2011?苏州）如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上．OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1，绕点B1按顺吋针方向旋转 120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）． 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即
和
，顶
点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形A001的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和． 小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l2上，0A边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B2处，小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题： 问题①：若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O经过的路程； 问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是
？
考点：旋转的性质；等边三角形的性质；正方形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算。
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Http://www.jyeoo.com 专题：几何图形问题。 分析：①根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可， ②再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出
=20（1+
）π+，即可得出旋转次数．
解答：解：①如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧， ∴顶点O在此过程中经过的路程为：
2+
=（1+
）π，
顶点O在此过程中经过的图形与直线l2围成的图形面积为：
×2+
+2××1=1+π．
正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
3+
=（+
）π，
②正方形纸片OABC经过4次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
2+
=（1+
）π，
∴=20（1+）π+，
∴正方形纸片OABC经过了81次旋转．
点评：此题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别得出旋转3，4，5次旋转的路径是解决问题的关键．
2
29、（2011?苏州）巳知二次函数y=a（x﹣6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点． （1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数a的值； （2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的 右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程； （3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．
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考点：二次函数综合题。 分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO，从而求出a．
（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．
2
解答：解：（1）令y=0，由a（x﹣6x+8）=0， 解得x1=2，x2=4； 令x=0，解得y=8a， ∴点 A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a）， 该抛物线对称轴为直线x=3， ∴OA=2， 如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1， 由题意得：O′A=OA=2， ∴O′A=2AM， ∴∠O′AM=60°， ∴∠OAC=∠O′AC=60°， ∴
，即8a=2
，
∴a=；
（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立， ①如图②，设P是边EF上的任意一点（不与点E重合），连接PM， ∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上， ∴PB＜4，PC≥4， ∴PC＞PB，
又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB， ∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD， ∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形， ②设P是边FG上的任意一点（不与点G重合）， ∵点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3）， ∴FG=3，GB=
，
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