例4求函数y?x?1 x???1,???的值域 2x?2x?1解：由原函数变形、整理可得：yx2??2y?1?x?y?1?0
求原函数在区间??1,???上的值域，即求使上述方程在??1,???有实数解时系数y的取值范围 当y?0时，解得：x?1???1,??? 也就是说，y?0是原函数值域中的一个值 ??① 当y?0时，上述方程要在区间??1,???上有解，
???01??1?即要满足f??1??0或?2y?1解得：0?y? ??②综合①②得：原函数的值域为：?0,?
8?8???2y??1?及时演练：
求下列函数的值域
2x2?x?2 （1）函数y?2的值域为 [1,5] 。
x?x?1x?3 （2）函数y?2的值域为 ?yy?0? 。
x?x?6x2?55?? （3）函数y?2的值域为 ???,????1,??? 。
3?x?3?x2?7x?10（4）函数y??x??1?的值域为 ?9,??? 。
x?1
知能点五：形如y?ax?b?cx?d的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。
例5 求函数y?2x?41?x在下列条件下的值域 （1）x????,1?； （2）x???8,1?
解：令1?x?t ∴x?1?t2
（1）将原函数换元得：y??2t2?4t?2 ∵x????,1? ∴t?0 ∴原函数的值域为???,4?； （2）将原函数换元得：y??2t2?4t?2 ∵x???8,1? ∴0?t?3 ∴原函数的值域为??4,4?。 及时演练： 求下列函数的值域
（1）函数y?1?3x?5的值域为 ???,1? ；当x??2,7?时，其值域为 ??3,0? 。
12??15??2112??（2）函数y?2x?1?5x的值域为 ???,?? ；当x??,?时，其值域为 ??,?? 。
5?5??28??8?知能点六：分段函数的值域：
一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上
的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。
例6 求下列函数的值域
（1）y?x?1?x?2 （2）y??x2?4x?1
解：（1）函数图像如下图：由图像可知：原函数的值域为?3,???
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（2）函数图像如下图：由图像可知：原函数的值域为???,5?
及时演练：
（1）函数y?x?2?x?3的值域为 ??5,5? ； （2）函数y?2x2?4x?5的值域为 ?3,??? ；
知能点七：复合函数的值域
对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。
例7 求下列函数的值域
（1）y?x?1??1?x?1? （2）y??x2?3x?4 2?xx?12u?12u?1?? 解得: 0?u?2 ∴x? ∵ ?1?x?? ∴?1?2?xu?1u?1解：（1） 令 u? ∵y?u ∴0?y?2 即原函数的值域为?0,2?。 （2）由?x2?3x?4?0 解得：?1?x?4
令t??x2?3x?4 ∴ 0?t?及时演练：
（1）函数y?x2?1?2?x?7?的值域为 ??3,43 。 （2）函数y?2?4x?x2的值域为 ?0,2? 。
?（3）函数y??x2?4x?1的值域为 ??0,5? 。
255?5? ∵y?t ∴ 0?y? 即原函数的值域为?0,? 42?2??
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