（1） （2） （3） （4）
a3、函数y?ax2?a与y?(a?0)在同一坐标系内的图像可能是（ D ）
x （A） （B） （C） （D）
x4、函数f?x??x?的图像是（ C ）
x （A） （B） （C） （D）
题型三：用函数图像解题
1、已知函数f(x)?3(x?2)2?5,且x1?2?x2?2，则( A ) A、f(x1)?f(x2)B、f(x1)?f(x2) C、f(x1)?f(x2) D、不能确定大小
2、如图，已知函数f(x)的图象关于直线x?1对称，则满足不等式
f(m?2)?f(3)的实数m的取值范围是 m?1或m?5 。
y 5 4 3 2 1 ?2 ? 1 O 2 3 4 1 x
3、根据函数y?(x?1)2?1(0?x?3)的图象，可以知道，f(0) ? f(1)， f(0) ? f(3)，f(3) ? f(1) (横线上填“>”或“<”符号)
4、设x????,???，求函数y?2x?1?3x的最大值。
?x?2 x?0?解：y?2x?1?3x???5x?2 0?x?1，其图像为
??x?2 x?1?16
由图象可知，当x?0时，ymax?2。
5、某人开车沿直线旅行，先前进了a km，到达目的地后游玩用去了一段时间，由原路返回bkm ?b?a?，再前进ckm，此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是（ C ） ssss oo o tttot（A） （B） （C） （D） 6、当m为何值时，方程x2?4x?5?m有4个互不相等的实数根。 解：令f?x??x2?4x?5，其图像如右图，
由图可知：1?m?5。
7、对于任意实数x1,x2,min?x1,x2?表示x1,x2中较小的那个数，若f?x??2?x2,g?x??x，则
min?f?x?,g?x??的最大值是 。
解：不妨设h?x??min?f?x?,g?x??，并将h?x??min?f?x?,g?x??f?x??2?x2,g?x??x 的图像画在同一坐标平面内。如右图。
h?x??min?f?x?,g?x??的图像是由两个f?x??2?x2,g?x??x 图像相比较下方的图像组成的图像。由图可知h?x?的最大值是1。
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函数的值域（教师用）
知能点全解：
知能点一：一次函数y?ax?b?a?0?的值域（最值）
1、一次函数：y?ax?b?a?0? 当其定义域为R，其值域为R；
2、一次函数y?ax?b?a?0?在区间?m,n?上的最值，只需分别求出f?m?,f?n?，并比较它们的大小即可。若区间的形式为???,n?或?m,???等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 及时演练： 求下列函数的值域
（1）y??5x?3 （2）y??5x?3 x???3,5? （3）y??5x?3 x???1,2? （4）y??5x?3 x????,3? （5）当x?5时，函数y??5x?3的值域为 。
答案：（1）R；（2）??22,18?；（3）??7,8?；（4）??12,???；（5）???,?22?
知能点二：二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的值域（最值）
?4ac?b2y? ?a?0???4a1、二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)， 当其 定义域为R时，其值域为? 2?y?4ac?b ?a?0??4a?2、二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在区间?m,n?上的值域(最值) 首先判定其对称轴x??（1）若?b与区间?m,n?的位置关系 2abb??m,n?,则当a?0时，f(?)是函数的最小值，最大值为f(m),f(n)中较大者；当2a2aba?0时，f(?)是函数的最大值，最大值为f(m),f(n)中较小者。
2ab??m,n?,只需比较f(m),f(n)的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a（2）若?特别提醒：
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②若给定的区间形式是?a,???,???,b?,?a,???,???,b?等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
例1 分别求函数y?x2?4x?1在下列区间上的值域：
（1）x?R ； （2）x?[3,4]； （3）x?[0,1)； （4）x?[0,5]； （5）x????,2?； 解：原函数经过配方得：y??x?2??3，即该函数的对称轴方程为：x?2
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2（1）∵x?R，a?1?0 ∴y???3,??? （2）∵x?[3,4] ∴y???2,1? （3）∵x?[0,1) ∴y???2,1?
（4）∵x?[0,5] 2??0,5? ∴y???3,6? （5）∵x????,2? 由右图可知： y???3,??? 及时演练： 求下列函数的值域
（1）函数y?x2?1的值域是 ?1,??? 。
（2）当x???5,2?时，函数y??x2?2x?5的值域为 ??40,?4? 。
（3）当x???5,?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,?时，函数y?2x2?4x?5的值域为 ??7,?5,1,11,25? 。 （4）已知 f??x2?2x?的定义域为??3,???，则f?x?的定义域为 ???,1? 。
0??x?1????（5）已知集合A??x?Zy?，B?mn?m2?2m?3,m?A，则用列举法表示集合B??x2?5x????为 ??3,0,5? 。
??（6）已知f?x?1??x2?1，且x???3,4?，则f?x?的值域为 ?1,17? 。 知能点三：一次分式函数的值域 1、反比例函数y?2、形如：y?k(k?0)的定义域为?xx?0?，值域为?yy?0? xcx?d的值域： ax?b?b?? （1）若定义域为?x?Rx???时，其值域为?y?Ry?a???（2）若x??m,n?时，我们把原函数变形为x?求出函数的值域。
c?? a?d?by，然后利用x??m,n?（即x的有界性），便可ay?c例2 求下列函数的值域
2x?52x?52x?5 （2）y? x??1,4? （3）y? x????,0? 1?3x1?3x1?3x2221717??1?3x???5??1?3x??2x?533??2?3 解：（1）∵y??3?31?3x1?3x1?3x31?3x1722 又∵1?3x?0 ∴y???3??
31?3x32x?5y?5 （2）由原函数y?可变形整理为： x?
1?3x3y?2（1）y?19
y?5?713??4 可解得y???,?? 3y?2?211?2x?5y?5 （3）由原函数y?可变形整理为： x?
1?3x3y?2y?5?2??0 可解得??,5?。 ∵x????,0? ∴
3y?2?3?∵x??1,4? ∴1?及时演练：
求下列函数的值域
（1）当x???3,?1?时，函数y? （2）已知f?x?1??1?3x3??的值域 ??4,?? 。 2x?12??x?36??，且x???3,2?，则f?x?的值域为 ???,?? 。 2?x5?? （3）已知集合A?yy??x2?2x?3,x?2，当x?A时，函数y???2?x?41?的值域为 ??,?? 3x?1?73?2x?31???11? （4）﹡函数y?的值域为 ；若时，其值域为 ??,?3,???,? 。 x?1,2?????x??3?3?2?1??511? （5）﹡函数y?2sinx?11????3?的值域为 ???,???3,??? ；若x??,3sinx?25???22??12?，其值域为 ?,? 。 ????23?dx2?ex?c知能点四：二次分式函数y?2的值域
ax?bx?c一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x是否存在；③分子、分母必须是既约分式。
例3 求下列函数的值域
3xx2?x?1x2?x?2y?（1）y?2； （2）y?； （3）；
x2?4x?x?6x2?1解：（1）由原函数变形可得：yx2?yx?6y?x2?x?1
整理得：?y?1?x2??y?1?x?6y?1?0
当y?1?0，即y?1时，上述方程无解，也就是说y?1，不是原函数的值。??① 当y?1?0，即y?1时，上述方程要有解，必有?0即：
22 ?y?1???y?1???6y?1??0 解得：y?1或y? ??②
7
2?? 综合①②得：原函数的值域为?1,???????,?
7??x2?x?2?x?1??x?2?x?21?x??1y??1?（2）y? ∵ ∴ 即值域为?y?Ry?1? x?1x?1x2?1x?1x?1?????（3）由原函数变形可得：yx2?3x?4y?0
当y?0时，上述方程的解为：x?0 也就是说，y?0是原函数值域中的一个值；??①
3??当y?0时，上述方程要有解，必有?0即：9?16y2?0 解得：?y??y?0且y?0?②
4???33?综合①②得：原函数的值域为：??,?。
?44??20
