如果y?f?u?,u?g?x?，那么y?f??g?x???叫做f和g的复合函数，其中g?x?为内函数，f?u?为外函数。
例6 已知f?x??x2?1 g?x?? 解：f??g?x????x?1 求f??g?x???,g??f?x???
?2x?1?1?x?2x； g??f?x????x?1?1
?2
及时演练：
题型一：函数概念
1、函数符号y?f?x?表示（ C ）
A、y等于f与x的乘积 B、f?x?一定是一个式子 C、y是x的函数 D、对于不同的x，y也不同
2、已知P??x0?x?4?,Q??y0?y?2?，下列对应不表示从P到Q的函数的是（ C ）
113x B、f:x?y?x C、f:x?y?x D、f:x?y?x 2323、下列对应中表示A到B的函数的有 ②④ （把序号填在横线上）
①A?R,B??xx?0?,f:x?y?x； ②A?Z,B?Z,f:x?y?x2;
A、f:x?y?③A?Z,B?Z,f:x?y?x; ④A???1,1?,B??0?,f:x?y?0。
4、在下列从集合A到集合B的对应关系中，不可以确定y是x的函数的有 ①②③⑤ 。
x①A?Z,B?Z,对应法则是f:x?y?；②A??x?Rx?0?,B?R,对应法则是f:x?y2?3x③
3A?R,B?R,对应法则是f:x?y:x2?y2?25； ④A?R,B?R，对应法则f:x?y?x2 ⑤A???x,y?x?R,y?R?,B?R，对应法则f:?x,y??s?x?y； ⑥A??x?R?1?x?1?,B??0?，对应法则f:x?y?0。
5、M?{x|0?x?2},N?{y|0?y?3}给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ C ）
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
y 2 1 O y 3 2 1 1 2 x O y 2 1 1 2 x O y 2 1 1 2 x O 1 2 x
题型二：函数的值
1、已知函数f(x)=3x2-5x+2，求f(3)= 14 , f(-2)= 8?52, f(a+1)= 3a2?a 。 2、已知f?x??x2?x?1，则f?f2?? 15?72 。
??3、已知函数f?x??x2?px?q满足f?1??f?2??0，则f??1?? 6 。
?x?1 x?0?4、已知f?x???0 x?0，则
?x?1 x?0?1??1??f?f???? 。
2??2????5、已知函数f?x??x2?x?1，则f?2?? 5 ；若f?x??5，则x= -3或2 。
6
x26、已知f?x??，那么f?1??f?2??1?x3 。 4?1?f???f?3???2??1?f???f?4???3?7?1?f??? 。
2?4?7、设定义在A??x?Rx?0?上的函数f?x?，对于任意的x1,x2?A，均有f?x1?x2??f?x1??f?x2?，且f?8??3，则f?2??
8、已知对任意x，y?N?，都有f?x??y???f?x??，f若yf?1??2，则
05?f?4?f2?0 4008 。 ????????f?1?f2f3f2004??????9?、若f?x?和g?x?都是定义在实数集R上的函数，且方程x?f??g?x????0有实数解，则g??f?x???不可能是（ B ）
1111 A、x2?x? B、x2?x? C、x2? D、x2?
5555题型三：相同函数的判断问题
1、下列函数中哪个与函数y?x是同一个函数，把序号填在横线上 ② 。 ①y?x； ②y?3x3； ③y?x2
2、下列各组中的两个函数是否为相同的函数，若不是说明理由。
(x?3)(x?5)y2?x?5 （定义域不同） ①y1?x?3②y1?x?1x?1 y2?(x?1)(x?1) （定义域不同）
③f1(x)?(2x?5)2 f2(x)?2x?5 （定义域、值域都不同）
3、已知下列四组函数，把其中表示相同函数组的序号填在横线上 ②④ 。 ①f?x??x,g?x??f?2?f3????2?x??n?N??； ②f?x??x,g?x??2n2n2n?1x2n?1?n?N??
2③f?n??2n?1?n?N?,g?n??2n?1?n?N?； ④f?x??x?2x?1,g?t??t?2t?1。
24、已知下列五组函数，把其中表示相同函数组的序号填在横线上 ③⑤ 。 ①f?x??x,g?x???x?； ②f?x??x,g?x??2x2； ③f?x??x,g?x??3x3；
2x2?4,g?x??x?2； ⑤f?x??④f?x??x?2?x?2?,g?x??x?2。
x??； ③f?x??x25、已知下列五组函数，把其中表示相同函数组的序号填在横线上 ③ 。 ①f?x??x?x?0?,g?x??x；②f?x??x,g?x???x?2?22,g?x??x?x?2；④
f?x??x?1,g?x??x?1； ⑤f?x??1,g?x??x0。
7
函数的定义域与解析式（教师用）
知能点全解：
知能点一：函数定义域的常见题型及解题常用方法 1、给出函数解析式，求其定义域
如果给出函数解析式却没有单独指明函数的定义域，那么该函数的定义域就是能使这个式子有意义的自变量x的取值范围。使解析式有意义的常见形式：
①分式的分母不得为零； ②偶次根式中被开方数不小于零； ③零的零次幂无意义； ④对数的真数大于零； ⑤指数和对数的底数必须大于零且不等于1；
? ⑥三角函数中正切函数y?tanx,x?R且x?k??；
2⑦当函数y?f?x?由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。 特别提醒：
1、求函数的定义域之前，不要对函数的解析式进行化简或变形，以免引起定义域的变化。 2、当解析式是整式时，其定义域为R。
3、当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合。
例 1：求下列函数的定义域，并用区间法表示：
（1）f(x)?x2?3x?4 （2）f(x)?x?1?211?11? （3） f(x)?(x?1)0x?x
1x?x2?3x?4?0?x??4或x??1?x??3或?3?x??1或x?4 ??解：（1）要使函数有意义，必须：?x?1?2?0x??3且x?1??∴定义域为：???,?3????3,?1???4,???
???x?0??x?0?1?（2）要使函数有意义，必须： ?1??0 ? ?x??1
?x?x??1?1?2?0?1?1?1?x?1??1??∴定义域为：???,?1????1,?????,0???0,???
2??2???x?1?0?x??1④要使函数有意义，必须： ? ?? ∴定义域为：???,?1????1,0?
x?x?0x?0??2、抽象函数的定义域：
所谓抽象函数就是指没有给出具体解析式的函数。此类题目的关键是注意对应法则，在同一对应法则作用下，不管接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，即都在同一取值范围内。该类型题目中最常见的是求复合函数的定义域，其有三种情况： （1）已知f?x?的定义域是?a,b?，求f??g?x???的定义域。该类题目实质上是由不等式a?g?x??b所求x的
取值范围就是f??g?x???的定义域。
8
例 2：已知函数f?x?的定义域是?0,9?，求函数f?x2?的定义域
解：由题意知：0?x2?9 解得：?3?x?3 即函数f?x2?的定义域为??3,3?。
（2）已知函数f??g?x???的定义域是?a,b?，求函数f(x)的定义域。该类型题目的实质是由x的取值范围所求得的g?x?的取值范围就是函数f(x)的定义域。
例 3：已知函数f?3x?2?的定义域是???,3?，求函数f(x)的定义域。
解：∵x?3 ∴3x?9 ∴3x?2?11 即函数f(x)的定义域为???,11?。 （3）已知函数f??h?x???的定义域。该类题目的解决方法是：先由函数?g?x???的定义域是?a,b?，求函数f?f??h?x???的定义域。 ?g?x???的定义域求出函数f(x)的定义域，再由函数f(x)的定义域取得函数f?1?2f?x例 4：已知函数f?1?2x?的定义域是?，求函数,5??的定义域。 ???2?1?x?5 ∴?10??2x??1 ∴?9?1?2x?0 即函数f(x)的定义域为?4,9? 2 ∴?9??x2?0 解得：解得：?3?x?3 即函数f??x2?的定义域为??3,3?。
解：∵
3、函数定义域的逆向问题
1的定义域是R，求实数a的取值范围 aa?0?1?21解：∵定义域是R, ∴ax?ax??0恒成立， ∴等价于??0?a?2 2??a?4a??0a?a?
知能点二：函数解析式的常见的题型及解题常用方法：
1、已知所求函数的类型（如：一次、二次函数、反比例函数等），求函数的解析式：――待定系数法
例 5：已知若函数y?ax2?ax?例 6： 设二次函数f(x)满足f(x?2)?f(2?x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，
求f(x)的解析式.
解：设f(x)?ax2?bx?c(a?0), ∵图象过点(0,3), ∴有f(0)=c=3,故c=3； 又∵f(x)满足f(x?2)?f(2?x)且f(x)=0的两实根平方和为10，
∴得对称轴x=2且x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2=10，
bb26?2且2??10， ∴a=1，b=-4， ∴f(x)?x2?4x?3 即?2aaa2、求复合函数的解析式：
（1）已知f(x)的解析式，求f??g?x???的解析式――代换法
22例 7：已知f(x)?x2?1，g?x??f(x?1)，求g?x?的表达式
解：g(x)?f(x?1)?(x?1)2?1?x2?2x.
（2）已知f??g?x???的表达式，求f(x)的表达式――换元法（ 注意新元的取值范围） 例 8：若f(x?1）?x?2x,求f(x)
解：令t=x?1则x=t2?1, t≥1 代入原式有f(t)?(t?1)2?2(t?1)?t2?1∴f(x)?x2?1 （x≥1） 3、构造方程组――已知条件是含有f(x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。
例 9： 已知f(x)满足2f(x)?f(1)?3x，求f(x)；∵已知2f(x)?f(1)?3x ①，
xx9
1将①中x换成得2f(1)?f(x)?3 ②，①×2-②得3f(x)?6x?3 ∴f(x)?2x?1.
xxxxx
及时演练：
题型一：给出解析式，求其定义域
1、求下列函数的定义域：
11① f(x)?； ② f(x)?3x?2； ③ f(x)?x?1?
x?22?x14?x2?1 ⑤y?x?2?3?④f(x)? 33x?71解：①∵x?2时，分式有意义，∴这个函数的定义域是?x|x?2?.
x?22②∵3x+2<0，即x<-时，根式3x?2无意义，
322而3x?2?0，即x??时，根式3x?2才有意义，∴这个函数的定义域是{x|x??}.
331③∵当x?1?0且2?x?0，即x??1且x?2时，根式x?1和分式 同时有意义，
2?x∴这个函数的定义域是{x|x??1且x?2}
④要使函数有意义，必须：4?x2?1 即： ?3?x?3 ∴函数定义域为： [?3,3] ??x?2?3?077?x?R7即 x?∴定义域为：{x|x??7} ⑤要使函数有意义：? ??x??333??3x?7?03?2、求下列函数的定义域，要求把结果写成区间形式
33?x3x?2?x25x?32(1)y?； (2)y? ?9?x； (3)y?2x?12x?3x?6?2x0?x?1?(4)y??21?x?2； (5)f(x)?x2?2,(2?f(x)?8)；
?3x?2?(6)f(x)?2?r，(r为圆的半径)
2?2?3??3??3x?2?x?0?1?x?3．故函数的定义域为?解：(1)使f(x)有意义应满足?1,?????,2?． ?x?2x?3?0?2??2???2???3?x1?0??1????x?3． 故函数定义域为??,3?。 (2)使f(x)有意义应满足?2x?122?2???9?x?0(3)使f(x)有意义应满足x?R．故函数定义域为???,???． (4)分段函数的定义域为?0,1???1,2???2,?????0,???．
(5) ∵2?y?8，∴2?x2?2?8??10?x??2或2?x10。定义域为?10,?2?2,10。 (6)从f(x)有意义的角度对r没有限制，但由于r使圆的半径，应使正数，故函数定义域为(0,??)． 题型二：抽象函数的定义域
111、若函数y?f(x)的定义域为[?1，1]，求函数y?f(x?)?f(x?)的定义域。
44????10
