映射（教师用）
知能点全解：
知能点一：映射的概念
设A、B是两个非空的集合，如果按某个确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B，以及对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作：f:A?B。
知能点二：像与原像的概念
给定一个集合A到集合B的映射，且a?A,b?B，如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的像，元素a叫做元素b的原像。 特别提醒：
1、对于映射f:A→B来说，则应注意理解以下四点： （1）集合A中每一个元素，在集合B中必有唯一的象； （2）集合A中不同元素，在集合B中可以有相同的象； （3）允许集合B中的元素没有象；
（4）集合A中的元素与集合B中的元素的对应关系，可以是：“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”。
2、集合A、B及对应法则f是确定的，是一个系统； 3、对应法则f有“方向性”。即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；
例1：给出下列关于从集合A到集合B的映射的论述，其中正确的有_________。
①B中任何一个元素在A中必有原象；②A中不同元素在B中的象也不同；③A中任何一个元素在B中的象是唯一的；④A中任何一个元素在B中可以有不同的象；⑤B中某一元素在A中的原象可能不止一个；⑥集合A与B一定是数集；⑦记号f:A?B与f:B?A的含义是一样的． 答案：③⑤
例2： A?N，B?R，f:x?y?2x?1，x?A，y?B．在f的作用下，11的原象是多少？
2x?11314的象是多少？
2x?111112?14?12727?，解得x?6，故的原象是6; 又?解：由 ，故14的象是 2x?113132?14?12929
知能点三：一一映射
一般地，设A，B是两个非空的集合，f:A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B的一一映射。
特别提醒：对一一映射概念的理解应注意以下两点：
1、对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，也就是说，不允许“多对一”； 2、集合B中的每一个元素都有原象，也就是说，集合B中不允许有剩余的元素。
例3：下列集合A到集合B的对应中，判断哪些是A到B的映射? 判断哪些是A到B的一一映射?
(1)A?N,B?Z，对应法则f:x?y??x,x?A,y?B；
1
1，x?A，y?B； x(3)A??0????90?，B??x0?x?1?，对应法则f:取正弦；
(2)A?R?，B?R?，f:x?y???(4)A?N?，B??0,1?，对应法则f:除以2得的余数；
(5)A???4,?1,1,4?，B???2,?1,1,2?，对应法则f:x?y?x,x?A,y?B；
2(6)A???，对应法则f:作等边三角形的平面内边长不同的等边三角形?，B??平面内半径不同的圆内切圆。 解：(1)是映射，不是一一映射，因为集合B中有些元素(正整数)没有原象；(2)是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数；(3)是映射，是一一映射，因为集合A中的角的正弦值各不相同，且集合B中每一个值都可以是集合A中角的正弦值；(4)是映射，不是一一映射，因为集合A中不同元素对应集合B中相同的元素；(5)不是映射，因为集合A中的元素(如4)对应集合B中两个元素(2和-2)；(6)是映射，是一一映射，因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是一个等边三角形的内切圆。边长不同，圆的半径也不同
拓展知识点：
1、设集合A有m个元素，集合B有n个元素，那么映射f:A?B的个数为nm；映射f:B?A的个数为mn。
2、设集合A、B都有n个的元素，那么A到B的一一映射的个数为n!
例4：已知集合A??a,b,c,d?,B??e,f,g,h?，那么A到B的映射的个数为 256 个；A到B的一
一映射的个数为 24 个。
及时演练：
题型一：基本概念题
1、设f:M?N是从集合M到集合N的映射，下列说法正确的是（ D ）
A、N中的每一个元素在M中的原象是唯一的 B、N是M中所有元素的象的集合
C、M中有的元素在N中无象 D、M中每一个元素在N中必有唯一的象
2、已知映射f:A?B，其中集合A???3,?2,?1,1,2,3,4?，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a?A，在B中和它对应的元素是a，则集合B中元素的个数有 4 个。 3、设集合A??x0?x?6?,B??y0?y?2?，下列从A到B的对应关系f中，不是映射的为 ．．（ A ）
1111x B、f:x?y?x C、f:x?y?x D、f:x?y?x 23464、给定集合P??x0?x?2?,Q??y0?y?4?，下列从P到Q的对应关系f中，不是映射的为 ．．
A、f:x?y?（ C ）
A、 f:x?y?2x B、f:x?y?x2 C、f:x?y?5x D、f:x?y?2x 25、下列对应是从集合A到集合B的映射的是（ C ）
A、A?R,B??xx?0且x?R?,x?A,f:x?x B、A?N,B?N?,x?A,f:?x?1
1 x6、已知集合A??x0?x?2?,B??y?1?y?3?,下列映射表示从A到B的一一映射是（ C ）
C、A??xx?0且x?R?,B?R,x?A,f:x?x2 D、A?Q,B?Q,x?A,f:x?2
A.f:x→y=－x+3 B.f:x→y=2(x－1)2－1 C.f:x→y=x2－1 D.f:x→y=x－1 7、下列对应是集合M到集合N的一一映射的是（ D ）
1 A、M?N?R,x?M,y?N,f:x?y?? B、M?N?R,x?M,y?N,f:x?y?x2
x1C、M?N?R,x?M,y?N,f:x?y? D、M?N?R,x?M,y?N,f:x?y?x3
x?x
题型二：象与原象
1、设集合A?N,B??偶数?，映射f:A?B把集合A中的元素a映射到集合B中的元素a2?a，则在映射f下，象20的原象是 5 。
2、f:A?B是从A到B的映射，其中A?R，B??(x,y)x,y?R?，f:x?(x?1,x2?1)，则A中元素2的象是 (2?1,3) ；B中元素(2,2)的原象 1 。
3、设集合A??(x,y)x?R,y?R?,B??(x,y)x?R,y?R?，f:(x,y)?(x?y,xy)，则(?2, 3)在f作用下的象是 (1,?6) ； (2, ?3)的原象是 (?1, 3)或(3, ?1) 。
4、设集合A和B都是自然数集合N，映射f:A?B，把集合A中的元素n映射到集合B中的元素
2n?n，则在映射f下，象20的原象是 3 。
5、在映射f:A?B中，A?B?{(x,y)|x,y?R}，且f:(x,y)?(x?y,x?y)，则与A中的元素(?1,2)对应的B中的元素是 (?3,1) 。
6、映射f:?x,y???x?y,x?y?，则(3，5)的原象是 （4，-1） 。
?11??11?7、在给定的映射f:?x,y???2x?y,xy?,?x,y?Q?的条件下，点?,??的原象是 ?,??和
?66??32??12???,? 。 ?43?8、若f?x??2x2?1(?3?x?5),f(a)?7,则a的值是 2 。
题型三：综合应用
1??111、已知集合A??1,2,3,? f:A?B是从集合A到集合B的??,??,10?,B??1,,,??,设x?A,y?B，
100??491映射，那么f:x?y? 2 。
x3??3312、已知集合A??1,2,3,???,??,10?,B??,,,??,设x?A,y?B， f:A?B是从集合A到集合B200??2863的映射，那么f:x?y? 2 。
2x12、己知集合A??1,2,3,k?,B??4,7,a4,a2?3a?，且a?N?,x?A,y?B,使B元素y?3x?1和A中 的元素x对应，则a= 2 ， k = 5 。
3
函数的相关概念（教师用）
知能点全解：
知能点一：函数的概念
设A、B是两个非空的数集，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f?x?和它对应，那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数，记作y?f?x?,x?A。其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数y?f(x)的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合?f(x)|x?A?叫做函数y=f(x)的值域.
特别注意： 1、函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊映射 ，其特殊处主要在于集合A, B为非空的数集；其中定义域A，就是指原象的集合，值域?f(x)|x?A?，就是象的集合。 2、函数符号y?f(x)表示“y是x的函数”，应理解为：
（1）x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；
（2）符号y?f?x?仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，再研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x),F(x),G(x)等符号来表示。 3、判断两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： （1）x的取值集合是否为空集
（2）根据给出的对应关系，自变量x在其定义域内的每一个值，是否都有唯一确定的函数值与之对应。
例 1：下列各式能否确定y是x的函数？
（1）x2?y2?1；（2）x2?y?3?0；（3）y?x?3?2?x
解：（1）不能。由x2?y2?1得出y??1?x2，所以当x?0时，y??1，故不符合函数的定义；（2）能；（3）不能。因为x??。
知能点二：函数的值
f?a?表示当x?a时，函数f?x?的值，这个值就由“f”这一对应关系来确定；f(x)与f(a)是不同的，前者表示以x为自变量的函数，后者为常数
例 2：已知f?x??x2?3x?1，则f?1?? ；f??5?? ；f? f?a?? ；f?2a?1?? 。
2? ；
? 答案：-1；41；3?32；a2?3a?1；4a2?10a?5。 知能点三：函数的三要素
我们通常把对应法则f、定义域A、值域?f(x)|x?A?称为函数的三要素。由函数的定义可知，由于函数值域被函数的定义域和对应关系完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定义域和对应法则。如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是同一函数。
例3：下列各组函数中，把表示同一函数组的序号填在横线上 ⑤ 。
①y?x,y?y?x,y??x?2； ②y?x,y?2??x2?1； ④y?x0,y?1；⑤x； ③y?x?1,y?x?12x2
4
知能点四：区间的概念和记号 名称 定义 闭区间 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 无穷区间 无穷区间 无穷区间 无穷区间 符号 ?xa?x?b? ｛xa＜x＜b｝ ﹛xa?x＜b﹜ ｛xa＜x?b｝ ｛xx?a｝ ｛xx＜a｝ ｛xx?a｝ ｛xx＞a｝ ?a,b? ?a,b? 数轴表示 ?a,b? ?a,b? ???,a? ???,a? ?a,??? ?a,??? 特别注意：书写区间记号时：
①有完整的区间外围记号，有两个区间端点，且左端点小于右端点； ②两个端点之间用“，”隔开；
③无穷大是一个符号，不是一个数；以“??”或“??”为区间一端时，这一端必是小括号。
例 4：将下列集合用区间表示：
?x?2? （1）?x?0?； （2）?xx?1或2?x?3?； （3）?xx??1,x?R?。
?x?1? 答案：（1）???,1???2,???；（2）?1???2,3?；（3）???,?1????1,1???1,???。
知能点五：分段函数
有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。
?x x?0? 如函数y?x??0 x?0
??x x?0?特别注意：
1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；
2、它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值f(x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；
3、分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。
(x?0)?0例 5 ： 已知f(x)???? (x?0) ，分别求f?1?,f??1?,f?0?,ff??f??1???的值。
?x?1(x?0)???答案： f(1)?2； f(?1)?0； f(0)??； f{f[f(?1)]}???1； 知能点六：复合函数
5
