13??5?1?x??1??x???44??3?x?3 解：要使函数有意义，必须：???413544??1?x??1???x?44??42、已知函数f(x)的定义域为??1,1?，则函数f?x??f?1?x??f?2?x?的定义域为 ?1,2? 。
?3、设函数f(x)的定义域是[?3，2]，则函数f(x?2)的定义域 ??0,6?42? 。
4、已知函数f?1?2x?的定义域为??2,5?，则函数f(x)的定义域为 ??9,5? 。 5、已知函数f?2x?3?的定义域为??1,2?，则函数f?x?1?的定义域为 ?2,8? 。 6、设函数f(x)的定义域为?0,1?，则函数H?x??f?x2?1?的定义为 ?0? 。 题型三：函数定义域的逆向问题
1、已知函数f?x??ax?1(a?0)在区间???,1?上有意义，求实数a的取值范围。
11?? ∴函数的定义域为???,?? aa??11?? ∵函数在区间???,1?上有意义 ∴???,1?????,?? ∴??1
aa?? ∵a?0 ∴a??1 即?1?a?0 ∴a的取值范围是??1,0?。
解：由题意知，ax?1?0 ∵a?0 ∴x??1的定义域是R，则a的取值范围是 ?0,1? 。 a题型四：已知所求函数的类型，求函数的解析式 1、已知f(x)是一次函数, 且f??f?x????4x?1, 求f(x)的解析式。 2、已知函数f?x??ax2?2ax?2fx?kfx?b?kkx?b?b?kx??k?1?b?4x?1 ?解：设f?x??kx?b，则f??????????k?2?k2?4?k??21?f(x)?2x?∴? ∴?或 ∴或f(x)??2x?1 1?3b???(k?1)b??1?b?1?3?2、若二次函数y?f?x?过点?0,3?、?1,4?、??1,6?，则f(x)= 2x2?x?3 。
3、已知f(x)为二次函数，且 f(x?2)?f(?x?2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,则
1f(x)? x2?2x?1 。
2114、已知f?x??ax2?bx?c，若f?0??0，且f?x?1??f?x??x?1，则f(x)? x2?x 。
22题型五：复合函数的解析式
1、已知f(x)?x2?1，令g(x)?f(x?1)，则g(x)= x2?2x 。 2、已知f(x?1)?x2?1，则f(x)? x2?2x 。 3、若f(x)?2x?3,g(x?2)?f(x),则g(x)= 2x?1 。 4、已知f(x?1)?x?1，则f(x)? x2?2x?2(x?1) 。
115、已知f(x?1)?2x?3，且 f(m)?6，则m= ? 。
24116、若f(x?)?x2?2，则函数f(x?1)= x2?2x?3 。
xx11
7、若f?x??x?11，则方程f?4x??x的根是 。 x2题型六：构造方程组
128?1?1、设f(x)满足3f?x??2f???4x，则f(x)? x? 。
55x?x?22、若3f?x?1??2f?1?x??2x，则f(x)? 2x? 。
53、若f(x)?f(?x)?x?10,求f(10)的值。
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函数的表示方法（教师用）
知能点全解：
知能点一：函数的常用表示方法简介
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. 1、解析法的概念：
如果函数y?f?x??x?A?中，f?x?是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如，s=60t2，A=?r2，S?2?rl,y?x?2(x?2)等等都是用解析式表示函数关系的。 特别提醒：
1、解析法的优点：①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；③便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。
2、解析法的缺点：①并不是所有的函数都能用解析法表示；②不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法：
通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒：
1、列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。
2、列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法：
用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。 特别提醒：
1、图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
2、图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。
知能点二：函数图像
1、判断一个图像是不是函数图像的方法：
要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x轴垂直的直线，当该直线保持与x轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。
例 1：下列图像中，那些可能是函数图像，把你认为正确图像的序号填写在横线上 ③④⑤ 。
y y
b① ② ③ ④ ⑤ aox ox
2、函数图像的作图方法大致分为两种：
（1）描点作图法。步骤分三步：列表，描点，连线成图。
（2）图像变换法。利用我们熟知基本初等函数图像，将其进行平移、对成等变换，从而得到我们所
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求的函数图像的方法。
3、一次函数和二次函数图像的作法：
（1）一次函数y?ax?b?a?0?图像的作法：
?b? 若b?0时，在直角坐标平面内分别描出点?0,b?、??,0?，过这两点连接而成的直线便是该一次
?a?函数的图形；若b?0时，除描?0,0?点之外，根据解析式任取一点描出，然后连接即可。 （2）二次函数y?ax2?bx?c?a?0?草图的作法：
?b4ac?b2b 首先根据对称轴方程x??，顶点坐标??,4a2a?2a??，分别求出对称轴方程和顶点坐标并将其?作在直角坐标平面内。然后令ax2?bx?c?0，若方程有实根，求出实根并将其对应得点??b?b2?4ac?,0?，描在坐标平面内；若无实数根可根据二次函数的解析式在对称轴两侧等距地任???2a??找两点并描在坐标平面内。最后用一条光滑的曲线将这三点连接起来即可得到该二次函数的草图。
知能点三：根据函数图像确定函数的定义域和值域
1、由函数图像来确定函数的定义域的方法是看函数图像在x轴上的正投影所覆盖的区域； 2、由函数图像来确定函数的值域的方法是看函数图像在y轴上的正投影所覆盖的区域；
例 2：根据下列函数图像分别确定函数的定义域和值域
（1） （2） （3） （4）
?9? 解：（1）定义域为??2,?1,0,1,2?；值域是??2,?1,2?。（2）定义域为?0,2?；值域是??2,?；
?8?（3）定义域为R；值域是R；（4）定义域为R；值域是??6,6?。
知能点四：分段函数图像
有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。由此可知，作分段函数的图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。
例 3：作出分段函数y?x?1?x?2的图像
解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：
x??2??(2x?1)?3 y?x?1?x?2=? ?2?x?1 ?2x?1x?1?
及时演练：
题型一：判断图像是否为函数图像
1、下列各图中，能作为y?f?x?的图象的是（ C ） y yy14 Ioxoxox
（A） （B） （C） （D）
2、设M??x0?x?2?,N??y0?y?2? 给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ B ） y 2 1
10 1 2 x
y 2 1 0 y 3 2 1 1 2 x
0 1 2 x
y 2 1 0 1 2 x
(A) (B) (C) (D)
题型二：作函数图像 1、画出下列函数的图像
（1） y??3x； （2）y?3x?1； （3）y??x2?2； （4）y?2x2?3x?2； （5）y?x?3?x?2
（1） （2） （3）
（4） （5）
2、画出下列函数的图象
(1)y?x2?2,x?Z且x?2； (2)y??2x2?3x,x??0,2?；
x??2?3?(3)y?x2?x； (4)y???3x?2?x?2。
??3x?2?解：如图所示：
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