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BACHELOR ’S THESIS 例10： 随机变量X和Y的联合分布律为
X Y 019291912929021900012
判断X和Y是否独立. 解： 关于X的边缘分布为
Xpi.049149219
关于Y的边缘分布为
Yp.j049149219
因为 p(X?0)p(Y?0)?4441???0?p(X?0,Y?0)?99819
所以X和Y不是相互独立的.
2.2连续型随机变量的独立性
定理6 设 ?X,Y? 是连续型随机变量，其概率密度 f?x,y?，关于X和Y的边缘概率密度为 fX?x?及fY?y?，则X与Y相互独立的充要条件是
f?x,y??fX?x?fY?y?（在f?x,y?,fX?x?,fY?y?的一切连续点等式都成立）.
证明 （充分性）
设f?x,y??fX?x?fY?y?，则?X,Y?的分布函数 F?x,y? 对任意的x 和y14
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BACHELOR ’S THESIS 有
F(x,y)??????xy??y??f?u,v?dudvfY?v?dv?x??fX?u?du?
?FX?x?FY?y?由 F?x,y??FX?x?FY?y? 得X与Y相互独立. （必要性）
设X，Y相互独立，则有
????xy??f?u,v?dudv?FX?x?FYy???y?
???x??xfX?u?du?y??fY?v?dv????fX(u)fY(?)dud?由于上式对任意的x,y都成立.于是对于 f?x,y?,fX?x?,fY?y? 的所有连续点，在上式两端对x,y求二阶混合偏导数，即得 f?x,y??fX?x?fY?y?.
如果 (?,?)是二维连续型随机变量，则?与?也都是连续型随机变量，他们的密度函数分别为 p?(x)及p?(y).这时容易验证?与?独立的条件为
p?(x).p?(y) 是 (?,?) 的密度函数
由此可知，要判断连续型随机变量?与?是否独立？只要验证 p?(x).p?(y)是否是(?,?)的密度函数就可以了，一般说来，这是比较容易的.
联合分布决定边际分布，再一次说明了边际分布不能一决定联合分布.还值得一提的是，两个边际分布都是正态分布的二维随机变量，它们的联合分布不仅是不唯一确定的，而且还可以不是一个二维的正态分布，下面就是这样的一个例子.
例11 若二维随机变量 (?,?) 服从 N(a1,a2,?12,?22,0) 分布.
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BACHELOR ’S THESIS 问 ?与?是否独立？ 解： 这时 (?,?) 有密度函数
12??1?2?22(y?a2)?1?(x?a1)???222??1?2??? p(x,y)?这时
???e
p?(x)??p(x,y)dy?12??1?(x?a1)2?122e
p?(y)?????p(x,y)dx?12??2?(y?a2)2?222e
显然这时p?(x)?p?(y)?p(x,y)成立，所以?与?相互独立.反过来，若?与则必有p?0.所以对二维正态随机变量N(a1,a2,?1,?2,p)来说，p?0是?独立，
22它们相互独立的重要条件.
例12 设连续型随机变量X和Y的联合密度函数为
f?4xyx,y?????00?x?1,0?y?1其他
判断X和Y是否独立.
fX(x)???????14xydy?2x?f(x,y)dy???0??00?x?1其他1?y?1其他
fY(y)???????14xydx?2y?f(x,y)dx???0??0
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BACHELOR ’S THESIS 又 fX(x)fY(y)???4xy?00?x?1其他,0?y?1
与f(x,y)相等，所以X和Y独立. 例13 设（X,Y）的联合密度函数为
?6f?x,y????00?x?1其他x?y?x2
求边缘密度函数fx?x?与fy?y?，并判断X,Y是否相互独立。 解 fx?x????????x6dy?6(x???2f?,x?y?d?yx??02x)?0?x其他
1 fy?y????????y??6dy?6(f?,x?y?d?yy??0y?y)?0其他?y
1由于f?x,y??fx?x?fy?y?，故X与Y不是互相独立。 例14 ?(x,y)???4xy?0其他 设二维随机变量 (?,?)有分布密度
?1?p(x,y)????0?x?y?1其它22
求 (1)C??(?,?)?？ (2)? 与 ? 是否相互独立. 解: p?(x)??1?x212?1?x?dy?22?1?x x?1
y?1
2同理 p?(y)?E??2?1?y????xp(x)dx??1?1x2?1?xdx?0
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BACHELOR ’S THESIS 同理 E??0
E?????????????xyp?x,y?dxdy?2??xy1??y?12?dxdy?0
?C??(?,?)?E?????E??E??0
但是p?x,y??p(x)p(y)
? ?与?是不相互独立.
说明 不相关，但不一定独立；独立一定不相关.
定理7 设（X1,X2,?,Xn）为连续型随机变量，概率密度为
f(x1,x2,?,xn),X1,X2,?,Xn的概率密度分别为fX1(x2),fX2(x2),?,fXn(xn)，则
X1,X2,?,Xn相互独立的充要条件是 f(x1,x2,?,xn)?fX1(x1)fX2(x2)?fXn(xn)
（在f(x1,x2,?,xn)及fX(xi)i(i?1,2,?,n)一切连续点等式成立）.
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