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BACHELOR ’S THESIS 证明： P(A)?1?P(A)
n_______n__nP(?Ai)?1?P(?Ai)i?1______?1?P(?Ai)
i?1ni?1___?1?P(A1)P(A2)?P(An)?1???1?P(Ai)?.
i?1例6： 3人独立破译密码，他们单独能破译的概率分别为,,，试求此
534111密码能被破译出的概率：
解：设Ai??第i个人能破译密码? ?i?1,2,3?
?
=?该密码被破译?.由于B?A1A2A3 故
?(B)?1??A1A2A3?1??A1?A2?A3?1?(1?15)?(1?13)?(1?14)?35????????
例7：甲,乙,丙三人在不同位置同时向某一个目标进行一次射击,假设他们每人的命中概率分别为0.6,0.7,0.8,计算下列事件的概率:
（1）恰好有一个人击中目标； （2）至少有一个人击中目标； （3）恰好有两个人击中目标；
解: 设事件A,B,C分别表示甲,乙,丙击中目标,事件Ai为“有人击中目标” i?1，2，3，依题意 A0，A1，A2，A3构成一个完备事件，且A,B,C相互独立.
P(A)?0.6P(B)?0.7P(C)?0.8
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BACHELOR ’S THESIS (1)P(A1)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)
?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?0.6?0.3?0.2?0.4?0.7?0.2?0.4?0.3?0.8?0.1888;
(2)P(A0)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)0.4?0.3?0.2?0.024;
(3)P(A3)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?0.6?0.7?0.8?0.336; P(A2)?1?P(A0)?P(A1)?P(A3)?1?0.024?0.188?0.336?0.452?
例8：某种仪器上装有大，中，小三个不同功率的灯泡，已知当三个灯泡完好时，仪器发生故障的概率仅为 1%，当烧坏一个灯泡时，仪器发生故障的概率为25%，当烧坏两个或三个灯泡时，仪器发生故障的概率分别为65%，90%，设有个灯泡被烧坏与否互不影响，并且它们被烧坏的概率分别为0.1，0.2，0.3，求仪器发生故障的概率.
解：仪器发生故障与否三个灯泡的完好情况有密切关系，我们应该把三个灯泡烧坏的数量视为导致一起发生故障的重要因素来考虑，记事件Ai为“仪器上三个灯泡中有i个灯泡被烧坏”，i?1，2，3； B为“仪器发生故障”，易见A0，
A1，A2，A3是一个完备组，并且有
P(BA0)?0.01P(BA1)?0.25P(BA2)?0.65P(BA3)?0.90
由于各灯泡寿命相互独立，所以有
P(A0)?0.9?0.8?0.7?0.504;P(A1)?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3
?0.398;P(A3)?0.1?0.2?0.3?0.006;P(A2)?1?P(A0)?P(A1)?P(A3)?0.092;
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BACHELOR ’S THESIS 应用全概率公式，有
3P(B)??P(A)P(Bii?0Ai)
?0.504?0.01?0.398?0.25?0.092?0.65?0.006?0.90?0.1697?
2.随机变量的独立性
上面讨论的事件的独立性是概率论中的一个重要的概念,随机变量的独立性是事件的独立性的推广,也是一个重要概念它的独立性也是概率论与数理统计中的一个重要概念.概率论与数理统计中的很多很多内容都是独立的前提下讨论的，所以下面在事件独立性的基础上讨论随机变量的独立性.
定义4 设X,Y为两个随机变量，若对任意实数x,y
p(X?x,Y?y)?p(X?x)p(Y?y)
则称X,Y相互独立.
它的意义是 (X?x)与事件 (Y?y) 相互独立.
定义4? 若 F(x,y) 及 FX(x),FY(y) 分别是二维随机变量 (x,y) 的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y有
p?X?x,Y?y??p(X?x)p(Y?y)F(x,y)?FX(x)FY(y)
则称随机变量X和Y是相互独立的.
定义5 设二维随机变量 (?,?) 的联合分布函数为 F(x,y)，又?与?的分布函数为 F?(x),F?(y)，若对任意的(x,y)有
F(x,y)?F?(x)?F?(y)
成立，则称随机变量?与?是相互独立的.
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BACHELOR ’S THESIS 定义6 设 X1,X2,?,Xn 为n个 随机变量对任意实数x1,x2,?,xn有
p(X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn)?p(X1?x1)p(X2?x2)?p(Xn?xn)
则称 X1,X2,?,Xn 相互独立.
定义7 设 x1,x2,?,xn 为n个 随机变量 F(x1,x2,?,xn) 是n个一元连续函数，若 F(x1,x2,?,xn)?F(x1)F(x2)?F(xn)，则x1,x2,?,xn 是相互独立.
定理2 设随机变量X,Y相互独立，又 g1(x),g2(x) 是两个一元连续函数，则 g1(X),g2(Y) 也是相互独立的随机变量.
证明 令??g1(X),??g2(Y)，对任意x,y记
Dx??t|g1(t)?x?1D??t|g2(t)?y?2y
则
p???x,??y??p?g1(X)?x,?p?X?D,1xg2(Y)?y?2yY?D?
?p?X?Dx?p?Y?Dy?12?p???x?p???y?
由定义4知?与?独立.
定理3 设 X1,X2,?,Xn 相互独立，g1(x),g2(x),?,gn(x) 是n个一远连续函数，则 g1(X1),g2(X2),?,gn(Xn) 也相互独立.
下面分离散型和连续型两种情况讨论随机变量的独立性。
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BACHELOR ’S THESIS 2.1离散型随机变量的独立性
定理4 设 ?X,Y? 为离散型随机变量，则X与Y相互独立的充要条件为 对?X,Y?的所有可能值?xi,yj?都有
p?X?xi,Y?yj??p?X?xi?p?Y?yj? 或 pij?pi.p.j?i,j?1,2,???.
定理5 设 X1,X2,?,Xn 是n个离散型随机变量，则X1,X2,?,Xn相互独立的充要条件是对任一组可能值 x1,x2,?,xn 都有
p?X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn?
?p?X1?x1?p?X2?x2??p?Xn?xn?
成立.
例9： 设两个独立随机变量X与Y的分布率分别为 X1X30.7P0.3 Y2Y40.4P0.6
求 随机变量Z?X?Y的分布 . 解： ?于是
Y X
20.180.424X与Y相互独立, ? P(X,Y)?pXpY
P0.180.12 0.120.28(X,Y)(1,2)(1,4)(3,2)(3,4)70.28Z?X?Y3557 13
0.420.28
Z?X?YP30.1850.54 .
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