学 士 学 位 论 文
BACHELOR ’S THESIS 于是
B?{(男,男),(男,女),(女,男)}
AB?{(男,女),(女,男)}
123412 P(A)?由此可知
,P(B)?,P(AB)?
P(AB)?P(A)P(B)
所以事件A,B不相互独立. (2)有三个小孩的家庭,样本空间为
??{(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),
(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)} 由等可能性知这8个基本事件的概率均为,这时
81 于是
AB中含有6基本事件, 中含有4基本事件, 中含有3基本事件,
6834481238AB P(A)?显然有
p(AB)?38? , p(B)?? , p(AB)?
?P(A)P(B)
成立,从而事件A与B是相互独立的.
定理1 若果事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互 立.
证明： ?事件A与 B 相互独立 ?P(AB)?P(A)P(B)
________ 4
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BACHELOR ’S THESIS __(1)P(AB)?P(A?B)?P(A?AB)A?ABP(A)?P(AB)?P(A)?P(A)P(B)?P(A)?1?P(B)?__
?P(A)P(B)因此A与B相互独立.
(2)P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)__
?1?P(A)?P(B)?P(AB)?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?[1?P(A)][1?P(B)]?P(A)P(B)
(3)P(AB)?P(B?A)?P(B?AB)
B?ABP(B)?P(AB)
?P(B)?P(B)P(A)
?P(B)[1?P(A)]?P(B)P(A)?P(A)P(B)
因此A与B，A与B也是相互独立. 命题 不可能事件与任意A事件是相互独立. 证明 设?是不可能事件
P(A?)?P(?)?P(A)?0?P(A)P(?)
?A与?是相互独立.
命题 必然事件与任意A事件是相互独立. 证明 设?是必然事件
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BACHELOR ’S THESIS P(A?)?P(?)?P(A)?1?P(A)?P(?) ?A与?是相互独立.
例3： 甲，乙两个人分别猜一个谜，猜对的概率分别是0.7，0.6，求下列事件的概率.
（1）“两个都猜对” （2）“两个人都猜错” （3）“恰有一个人猜对” （4）“至少有一个人猜对” 解：设A?“甲猜对” ， B?“乙猜对”
?两个人分别猜谜 ?A与BP(A)?0.7， P(B)?0.6 ?是相互独立
P(A)?0.3，P(B)?0.4
P(1)?P(AB)?P(A)P(B)?0.7?0.6?0.42P(2)?P(AB)?P(A)P(B)?0.3?0.4?0.12P(3)?P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)
?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.7?0.4?0.3?0.6?0.46
或
P(4)?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.7?0.6?0.7?0.6?0.88
P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(AB)?1?0.12?0.88
1.2三个事件的独立性
定义2 设三事件 A,B,C，如果
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BACHELOR ’S THESIS P(AB)?P(A)P(B)P(AC)?P(A)P(C)P(BC)?P(B)P(C)P(ABC)?P(A)P(B)P(C)
则称A,B,C相互独立.
只满足前3式，称A,B,C为两两独立.
A,B,C相互独立，则一定两两独立；但是两两独立，则三个事件不一定相
互独立.
例4： 设样本空间 ????1,?2,?3,?4? 含有等可能的四个基本事件，又
A???1,?2?;B???1,?3?;C???1,?4?
解：显然有 P?A??P?B??P?C??由此有
P?AB??P?A???B?;???C????B???C?;??AC??P?A???C?;??ABC??14;??A???B???C??1812
?P?ABC??P?A???B???C?这说明A，B，C两两独立，但是P?ABC??P?A???B???C?故A,B,C不相互独立。例5：设4张同样的卡片，1张涂上红色，1张涂上绿色，1张涂上红，黄，绿三种颜色，从这4张卡片，用A,B,C分别表示事件“取出的卡片上涂有红色”，“ 取出的卡片上涂有黄色”，“ 取出的卡片上涂有绿色”
问：A,B,C是否独立？
解：据题设有 ?(A)??(B)??(C)??(AB)??(BC)??(AC)??(ABC)
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BACHELOR ’S THESIS 从而 ?(AB)??(A)(B)；
?(BC)??(B)(C)； ?(AC)??(A)(C)；
所以三个事件A,B,C是两两相互独立的，然而 ??ABC????A???B???C? 故三个事件A,B,C不是相互独立的. 下面讨论对多个事件的独立性.
1.3多个事件的独立性
定义3 设有n个事件A1,A2,?,An，(n?2) ，如果对任意正整数
k(2?k?n), i1,i2,?ik(1?i1?i2???ik?n) 均都有
P(Ai1,Ai2,?,Aik)?P(Ai1)P(Ai2)?P(Aik)
则称事件A1,A2,?,An相互独立.
（1）如果n个事件A1,A2,?,An相互独立，则对其中的任意 m(1?m?n)个 .
事件改为相应的对立事件，形成的n个事件仍然相互独立.
（2）若 A1,A2,?,An相互独立，则它们其中任意m(1?m?n)个事件也是一定独立；特别若 A1,A2,?,An独立，则它们中任意两个事件都相互独立.
反之也未必成立，n个事件 A1,A2,?,An两两独立不一定它们相互独立. （3）如果n个事件 A1,A2,?,An相互独立，则有
nn__nP(?Ai)?1??P(Ai)?1??(1?P(Ai))i?1i?1i?1
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