6.事件的独立性与随机变量的独立性 作者:阿曼古.卡地尔 指导

2025-07-28

编号

学士学位论文

事件的独立性与随机变量的

独立性

学生姓名: 阿曼古·卡地尔 学 号: 20060101011 系 部: 数学系 专 业: 数学与应用数学 年 级: 2006-3班 指导教师: 买买提依明·热扎克 完成日期: 2011 年 5 月10 日

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BACHELOR ’S THESIS 中文摘要

事件的独立性和随机变量的独立性是概率论中的最重要的概念之一. 本论文主要讨论事件的独立性和独立事件的性质,随机变量的独立性,研究两种最常见的随机变量类型---离散型随机变量和连续型随机变量的独立性.

关键词:独立事件;概率;随机变量

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BACHELOR ’S THESIS 目 录

中文摘要 .................................................................................................................... 1 引言 ............................................................................................................................ 2 1. 事件的独立性 ...................................................................................................... 2 1.1两个事件的独立性 .............................................2 1.2三个事件的独立性 .............................................6 1.3多个事件的独立性 .............................................8 2.随机变量的独立性 .............................................................................................. 11 2.1离散型随机变量的独立性 ......................................13 2.2连续型随机变量的独立性 ......................................14 总结 .......................................................................................................................... 19 参考文献 .................................................................................................................. 20 致谢 .......................................................................................................................... 21

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BACHELOR ’S THESIS 引言

对于事件的独立性,即有直观的描述,又有严格的数学定义,它们在不同的场合各有用处, 独立性是概率论中的特有的概念.它的引进大大推动了概率的发展,概率论中许多重要的结论是独立性的假定下获得的.随机变量的独立性事实上是以事件的独立性为基础的概念.

1. 事件的独立性

在已知事件A发生的条件下,B发生的可能性为条件概率 P(B|A)?P(AB)P(A)

并且由此可以得到一般的概率乘法公式 P(AB)?P(A)P(B|A)

现在可以提出一个问题,如果事件B发生与否不受事件A是否发生的影响,那么会出现什么样的情况呢?为此,需要把“事件B发生与否不受事件A是否发生的影响”这句话表达成数学的语言.事实上,事件B发生与否不受事件A的影响,也就是意味着有 P(B)?P(B|A)

这时乘法公式就有了更自然的形式 P(AB)?P(A)?P(B) 由此启示我们引入下述定义.

1.1两个事件的独立性

定义1 对任意的两个事件A,B,若

P(AB)?P(A)P(B)

成立,则称事件A,B是相互独立的,简称为独立的. 例1:分别掷两枚均匀的硬币,令

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BACHELOR ’S THESIS ???硬币甲出现正面?

?

???硬币乙出现正面

验证事件A,B是相互独立的 证明: 这是样本空间

???(正,正),(正,反),(反,正),(反 ,反 )?

共含有4个基本事件,它们是等可能的 ,各有概率1/4,而 ???(正,正),(正,反 )? ???(正,正),(反,正)? ????(正,正)? 由此知

?(?)??(?)?这是有

?(??)?成立,所以A,B是相互独立的

例2: 一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和女孩是等可能的,令 A? { 一个家庭中既有男孩又有女孩 } B? { 一个家庭中最多有一个女孩 } 对下述两种情形,讨论A与B的独立性:

(1) 家庭中有两个小孩; (2) 家庭中有三个小孩;

解:(1)有两个小孩的家庭,这是样本空间为 ??{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}, 它有4个基本事件,由等可能性知概率各为,这时

4114??(?)?(?)12

A?{(男,女),(女,男)}

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