与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取v0方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如题2.8图.
?
题2.8图
X方向： Fx?0x?v0t①
Y方向： Fy?mgsin??may②
t?0时 y?0vy?0
y?由①、②式消去t，得
1gsin?t2 2y?12 gsin??x22v0
2.9质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx＝6 N，fy＝-7 N，当t＝0时，x?y?0，vx＝-2 m2s，vy＝0．求当t＝2 s时质点的(1)位矢；(2)速
-1
度． 解：ax?fx63??m?s?2 m168ay?fym??7m?s?2 16(1)
235vx'?vx??axdt??2??2??m?s?1084
2?77vy'?vy??aydt??2??m?s?10168于是质点在2s时的速度
5?7??v??i?j48(2)
m?s?1
?1?1?r?(vxt?axt2)i?ayt2j22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j
2821613?7???i?jm48
2.10质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，t=0时质点的速度为v0，证明(1) t时刻的速度为v＝v0ek?()tm；(2) 由0到t的时间内经过的距离为
k?()tmv0m)［1-em］；(3)停止运动前经过的距离为v0()；(4)当t?mk时速度减x＝(
kk至v0的
1，式中m为质点的质量． e?kvdv? mdt答: (1)∵ a?分离变量，得
dv?kdt? vmvdvt?kdt??即 ? v0v0mv?ktln?lnem v0∴v?v0ek?mt
(2) x?vdt???ve00tk?mtkmv0?mtdt?(1?e)
k(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞， 故有 x????0v0ek?mtdt?mv0 k (4)当t=
m时，其速度为 kv?v0e即速度减至v0的
km?m?k?v0e?1?v0 e1. e2.11 一质量为m的质点以与地的仰角?=30°的初速v0从地面抛出，若忽略空气阻力，求
?质点落地时相对抛射时的动量的增量． 解: 依题意作出示意图如题2.11图
题2.11图
在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30o，则动量的增量为
????p?mv?mv0
由矢量图知，动量增量大小为mv0，方向竖直向下．
2.12 一质量为m的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s后，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒? 解: 由题知，小球落地时间为0.5s．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为v1?gt?0.5g，小球上跳速度的大小亦为v2?0.5g．设向上为y轴正向，则动量的增量
?????p?mv2?mv1方向竖直向上，
大小?p?mv2?(?mv1)?mg
碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．
??2.13 作用在质量为10 kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s，(1)求4s后，
这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N2s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度?6jm2s的物体,
-1
?回答这两个问题．
解: (1)若物体原来静止，则
??t?4??p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?s?1i,沿x轴正向，
00????p1?1?v1??5.6m?si m???I1??p1?56kg?m?s?1i若物体原来具有?6m?s?1初速，则
?t?F?????p0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0??Fdt于是
0m0tt??????p2?p?p0??Fdt??p1,
0????同理， ?v2??v1,I2?I1
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
I??(10?2t)dt?10t?t2
0t亦即 t2?10t?200?0 解得t?10s，(t??20s舍去)
2.14 一质量为m的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为
???r?acos?ti?bsin?tj
求质点的动量及t＝0 到t?解: 质点的动量为
?时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量． 2?????p?mv?m?(?asin?ti?bcos?tj)
将t?0和t??分别代入上式，得 2?????p1?m?bj,p2??m?ai ,
??????I??p?p2?p1??m?(ai?bj)
则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为
2.15 一颗子弹由枪口射出时速率为v0m?s?1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为
F=(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，
试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
F?(a?bt)?0,得t?a b(2)子弹所受的冲量
t1I??(a?bt)dt?at?bt2
02将t?a代入，得 ba2I?
2b(3)由动量定理可求得子弹的质量
Ia2 m??v02bv0
2.16 一炮弹质量为m，以速率v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为
v+
2kT2T, v-
mkm证明: 设一块为m1，则另一块为m2，
m1?km2及m1?m2?m
于是得m1?kmm,m2? ① k?1k?1又设m1的速度为v1,m2的速度为v2，则有
T?1112m1v12?m2v2?mv2② 222mv?m1v1?m2v2③
联立①、③解得
v2?(k?1)v?kv1④
将④代入②，并整理得
2T?(v1?v)2 km于是有 v1?v?将其代入④式，有
2T kmv2?v?2kT m
