习题1
1.1选择题
(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径r(x,y)的端点处，其速度大小为
??drdr(A) (B)
dtdt?dx2dy2d|r|(C) (D)()?()
dtdtdt[答案：D]
(2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v?2m/s，瞬时加速度a??2m/s2，则一秒钟后质点的速度
(A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。
[答案：D]
(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t秒转一圈，在2t时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为
2?R2?R2?R, (B)0, ttt2?R,0 (C)0,0 (D)t(A)
[答案：B]
1.2填空题
(1) 一质点，以?m?s的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在5s内，位移的大小是 ；经过的路程是 。
[答案：10m； 5πm]
(2) 一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度v0为5m·s-1，则当t为3s时，质点的速度v= 。
[答案：23m·s-1]
?1???(3) 轮船在水上以相对于水的速度V1航行，水流速度为V2，一人相对于甲板以速度V3行走。???如人相对于岸静止，则V1、V2和V3的关系是 。
???[答案：V1?V2?V3?0]
1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：
(1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。
解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。
1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？
（1）x=4t-3；（2）x=-4t3+3t2+6；（3）x=-2t2+8t+4；（4）x=2/t2-4/t。
给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x单位为m，t单位为s）
解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为
v?dx?4t?8dt 2dxa?2?4dtt=3s时的速度和加速度分别为v=20m/s，a=4m/s2。因加速度为正所以是加速的。
1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？
(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。 解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零； (2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零； (3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零； (4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。
1.6｜?r｜与?r有无不同?举例说明．
解：（1）?r是位移的模，?r是位矢的模的增量，即?r?r2?r1，?r?r2?r1； （2）
drdrdvdv和有无不同?和有无不同?其不同在哪里?试dtdtdtdt??dsdrdr是速度的模，即. ?v?dtdtdtdr只是速度在径向上的分量. dt?（式中r?叫做单位矢）∵有r?rr，则
式中
?drdrdr??r ?rdtdtdtdr就是速度在径向上的分量， dt∴
drdr与不同如题1.6图所示. dtdt 题1.6图
?dvdv?dv (3)表示加速度的模，即a?，是加速度a在切向上的分量.
dtdtdt∵有v?v?(?表轨道节线方向单位矢），所以
????dvdv?d????v dtdtdtdv就是加速度的切向分量. dt???d??dr(?的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 与dtdt式中
1.7 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求
d2rdr出r＝x?y，然后根据v =及a＝2而求得结果；又有人先计算速度和加速度的
dtdt22分量，再合成求得结果，即
?d2x??d2y??dx??dy?????你认为两种方法哪一种正确？为什么？两v=?????，a=?2?2????dt??dt??dt??dt?者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r?xi?yj，
2222?????drdx?dy??v??i?jdtdtdt ??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt故它们的模即为
?dx??dy?22v?vx?vy???????dt??dt?2222?dx??dy?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????22
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
drv?dtd2ra?2
dtdrd2rdr与2误作速度与加速度的模。在1.6题中已说明不是速度的模，其二，可能是将
dtdtdtd2r而只是速度在径向上的分量，同样，2也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中
dt2?d2r??d???的一部分?a径?2?r?或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即??。
dt?dt???????量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随时间的变化率对速度、加
速度的贡献。
1.8一质点在xOy平面上运动，运动方程为
x=3t+5, y=
12
t+3t-4. 2式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s时刻和t＝2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s时质点的速度；(5)计算t＝0s到t＝4s内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
?12??解：（1） r?(3t?5)i?(t?3t?4)jm
2(2)将t?1,t?2代入上式即有
???r1?8i?0.5jm
???r2?11i?4jm ??????r?r2?r1?3i?4.5jm
(3)∵r0?5i?4j,r4?17i?16j
?????????????r?r?r12i?20j??40??3i?5jm?s?1 ∴v??t4?04????dr?3i?(t?3)jm?s?1 (4) v?dt????1则 v4?3i?7jm?s
(5)∵v0?3i?3j,v4?3i?7j
?????????????vv4?v04ja????1j?t44???dv?1jm?s?2 (6) a?dt
m?s?2
这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。
1.9 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为a＝2+6x2，a的单位为m?s?2，x的单位为 m. 质点在x＝0处，速度为10m?s?1,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵ a?dvdvdxdv??v dtdxdtdx分离变量： vdv?adx?(2?6x2)dx 两边积分得
12v?2x?2x3?c 2由题知，x?0时，v0?10,∴c?50
∴ v?2x3?x?25m?s?1
1.10 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3tm?s?2，开始运动时，x＝5 m，v=0，求该质点在t＝10s时的速度和位置． 解：∵ a?dv?4?3t dt分离变量，得 dv?(4?3t)dt 积分，得v?4t?32t?c1 2由题知，t?0,v0?0 ,∴c1?0
32t 2dx3?4t?t2 又因为 v?dt232分离变量， dx?(4t?t)dt
2132积分得 x?2t?t?c2
2故 v?4t?由题知 t?0,x0?5 ,∴c2?5
