近世代数证明题(5)

2025-07-25

254. 设R是阶大于1的交换环。证明:当R不含零因子时,R[x]亦然。

255. 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。

256. 设f:R?R是环R到环R的同态满射,求证:f是R到R的同构当且仅当f的核是R的零理想。

257. 如果无零因子环的特征是有限整数,那么是一个素数。

k

258. 求证:若a生成一个n阶循环群G,k与n互素,则a也生成G。 259. 设 为 , 使得

260. 求证:一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环 。 261. 设 为环. 证明 的中心

是 的子环.

262. 设R是主理想环,a∈R,a≠0且(a)是R的最大理想,求证:a是R的素元。 263. 环 的两个理想 与 的和

?264. 证明:Z??2i?是主理想环。

的非空子集. 证明: 为 的子环的充分必要条件时, 存在非负整数

与交 都是 的理想.

265. 证明:整数环上的多项式环Z?x?是一个唯一分解环。

266. 试证在整环D?Z[3i]?{a?b3i|a,b?Z}中4不能唯一分解。 267. 数域P上的一元多项式环P?x?是一个欧氏环。

268. 证明 若K为欧氏环,则对任意a,b?K,a,b存在最大公因子d且有s,t?K,使得d?sa?tb。

269. 若R环的特征为素数p,且R可交换,则有

?a?b??ap?bb, ?a,b?R.

p 21

270. 证明Q?x?是主理想环。 271.

设I1={2k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z},试证明: (1) I1,I2都是整数环Z的理想。 (2)I1∩I2=(6)是Z的一个主理想。

272. 设φ是群G到群H的同态满射, H1是H的子群。证明:G1= {x|x∈G且φ(x)∈H1}是G的子群。 273. 设环(R,+,·,0,1)是整环。证明:多项式环R[x]能与它的一个真子环同构。

22


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