的理想。 86、设Z?2???a?b2|a,b?Z,I?(2)证明：Z[2]?I是域。
87、设R是有单位元的交换环，I是R的真理想，证明：如果R的每个不在I中的元素
都可逆，则I是R的唯一的极大理想。
88、在Z[x]中，证明(7, x)不是Z[x]的一个主理想。
89、设I和J是环R的理想, 且满足I+J=R，I∩J=｛0｝证明：R?J。
I90、证明：整环R的元素之间的相伴关系是一个等价关系。 91、在整环Z[?3]?a?b?3|a,b?Z中, 证明4??3是素元。
92、设f:R?R为环的同态。如果R是除环，求证f是零同态或f是单同态（零同态
是指g: R?R, x?0,x?R）。
93、设f:R?S是环的满同态。K=Kerf，P是R的素理想，且P?K,则f(P)是S的素理
想。
94、设f:R?S是环的满同态，Q是S的素理想，证明：f?1?????(Q)??a|a?R,f(a)?Q?是
R的素理想。
95、设D为整环，m和n为互素的正整数，a, b?D如果am=bm, an=bn求证a=b。 96、证明：Z[x]不是主理想整环。
97、设R为交换环，R2=R, 则R的每个极大理想都是素理想。
R[x]98、设R[x]是实数域R上的一元多项式环，取x+1?R[x]证明：
2(x2?1)?C，C为
复数域。
99、设R是一个主理想整环，p, q?R都是素元，且p与q不相伴，
证明(p, q)=R。
100、设S是环R的子环，I是R的理想，且I?S，证明：
S是RI的子环。 （1）I（2）若S是R的理想，则S是R的理想。
II 6
101、设f是环R到环R?的满同态，A为R的理想，证明：f(A)?R??A?Kerf?R。 102、设f是群G到群G的满同态，N是G的正规子群，证明：f(N)?G?N?Kerf?G。 103、设R是欧氏环，I是R的一个素理想，证明：I是R的一个极大理想。 104、设f是环R的满自同态，R只有有限个理想，证明f 是R的一个自同构。 105、设H，K?G,则对任意a, b ?G,则Ha?Kb=?或Ha?Kb是H?K的一个右陪集，
该结果能否推广？ 106. 方程 107. 设
在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群.
??
证明 关于矩阵的乘法构成群. 108. 设 是群. 证明: 如果对任意的 109. 证明: 在群 中, 如果 110. 设 为加群. 证明: 任给
, 则 ,
, 有 . , 有
.
, 则 是交换群.
111. 证明: 一个子群的左陪集的所有元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集。 112. 设群 的子群 在 中的指数为2. 证明:
,
.
113.设 为群, 是 的子群. 证明: 中每个元素属于且属于 的一个左陪集. 114. 设 是群, 是 的子群,
. 则
是 的子群.
115. 设 是群, 是 的非空子集. 证明: 中与 中每个元素都可交换的元素全体
7
是 的子群. 116. 设
. 证明: 是
的子群.
117. 设 是交换群. 是一个固定的正整数. 令
,
.
证明: 与 都是 的子群.
118. 设 为群. . 证明: 与 有相同的阶.
119. 设 为群. . 证明:
(1) 与 有相同的阶.
(2) , , 有相同的阶.
120. 设 为群, , 的阶为 , , . 证明: .
121. 证明: 循环群是交换群.
122. 证明: 有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数. 123. 证明: 任意偶数阶群必含有阶为2的元素. 124. 设 为素数. 证明:
中每一个非零元都是生成元.
125. 设 为 到 的同构映射, . 证明: 与 有相同的阶.
126. 证明:
127. 设 是群, 证明: 的中心
8
是 的正规子群. 128. 设 是群,
,
, 证明:
.
129. 设 是群, 和 分别是 的子群和正规子群. 证明: (1) 是 的正规子群; (2) 是 的子群. 130. 设 为 的中心. 证明: 如果
是循环群, 则 是交换群.
131. 设 为群, 对任意的 , 称
为 的换位子, 的所有换位子生成的子群叫做 的换位子群, 记作
是 的正规子群;
是交换群; , 且
为交换群, 则
是 的子群.
. 证明:
(1)
(2) 商群 (3) 若 注:
是由所有换位子的可能乘积所组成的集合.
132. 设 与 仅当对任意的
为群, 为 到 的同态映射.
, 有
.
. 证明: 当且
133. 设 与 为群, 为 到 的同态映射. ,
. 证明:
134. 设 为 到
.
的同态映射, . 为 的子群. 证明:
9
135. 设 与 分别为 阶与 阶循环群. 证明: 当且仅当 .
136. 设 都是群 的正规子群. 证明:
137. 设群 在集合 上的作用是传递的. 证明： 如果 是 的正规子群，则 在 的作用下的每个轨道有同样多的元素. 138. 设群 作用在集合 上，
.
139. 证明集合
. 证明： 如果存在
, 使得
, 则
关于通常的加法与乘法构成一个整环. 并求出 140. 证明集合
的所有单位.
关于通常数的加法与乘法构成域. 141. 证明: 由所有形如
的矩阵组成的集合 关于矩阵的加法与乘法构成一个无单位元的环, 试确定这个环的所有零因子.
145. 证明: 一个具有素数个元素的环是交换环. 146. 设 是环.
是 的单位元. 证明: 对任意的
,
.
10
