193. 证明：循环群的子群也是循环群．
194. 若群G与群G同态，且G是循环群，证明：G也是循环群．
195. 证明：阶为pm的群（p是素数）一定包含有一个阶为p的子群． 196. 设H，K是群G的不变子群，证明：HK也是G的不变子群
197. 设H，K是群G的不变子群，且H?K?{e}．证明：?h?H,?k?K，都有hk?kh．
198. 设H，K是群G的不变子群，证明：H?K也是G的不变子群。 199. 设H是群G的子群，N是G的不变子群。证明：HN是G的子群． 200. 设G是一个n阶有限群．证明：G的每一个元素都满足方程xn?e．
201. 设G是一个群，C?{a?G|ax?xa,不变子群．
202. 设C是群G的中心，即
?x?G}是G的中心，证明：C是G的一个
C?{a?G|ax?xa,?x?G}．
且商群GC是循环群．证明：G交换群．
203. 若G 是循环群，H是G的一个子群．证明：GH也是循环群．
204.设G是一个群，令?:x?x?1,x?G．证明：?是G到G的同构映射的充分必要条件是：G是一个交换群． 205. 设R是一个环，令
C(R)?{R?G|ax?xa,?x?R}．
证明：C（R）是R的一个子环．
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206. 设R是一个环．证明：如果R有左零因子，则R中有非零元x，使x既是左零因子，又是右零因子．
207. 设R是一个环．证明：如果R有右零因子，则R中有非零元x，使x既是左零因子，又是右零因子．
208. 设R是一个有单位元1的环，a,b?R．证明：1+ab是可逆元的充分必要条件是1+ba是可逆元．
209. 如果环R的每个元素x都满足方程x2?x，证明：对任意x,y?R，有x+x=0，xy=yx．
210. 设I1,I2是环R的理想．证明：I1?I2也是R的理想． 211.在M2(Z)中，令
??ab????02d??，???T???I????． ?0c?a,b,c?Z????????00?d?Z?证明：（1）T是M2(Z)的子环；（2）I是T的理想．
212. 在M2(Z)中，令
??0??a0??T????2d?bc??a,b,c?Z?，I??????????0???． 0?d?Z??证明：（1）T是M2(Z)的子环；（2）I是T的理想．
213. 设I?{5n|n?Z}．证明：I是整数环Z的一个理想． 214. 设I是环R的一个理想，令
?:a?a?I,a?R．
证明：?是R到RI的同态满射．
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215.设?是环R到环R的一个同态满射．证明：?是R到 R的一个同构映射的充分必要条件是：?的核ker(?)={0}．
216. 设R是一个交换环，N为R中所有幂零元的集合，即
N?{a?R|存在n?Z?，使an?0}．
证明：（1）N是R的理想；（2）RN中不含有非零的幂零元．
217. 在高斯整环Z[i]?{a?bi|a,b?Z}中，证明：1-2i是素 元（既约元）．
218．证明：高斯整环Z[i]?{a?bi|a,b?Z}的单位只有?1,?i。
219. 在高斯整环Z[i]?{a?bi|a,b?Z}中，证明：a+bi是单位的充分必要条件是a+bi的模|a+bi|=1．
220. 设Z[i]?{a?bi|a,b?Z}是高斯整环．对于??Z[i]，若|?|2?p是一个素数，证明：
?是一个素元（既约元）．
221. 设R是一个整环，a,b?R．证明：主理想（a）=（b）当且仅当b是a的相伴元． 222. 证明：整数环Z是主理想环。
223. 证明：数域F上的多项式环F[x]主理想环．
?1224. 设G是一个群，u是在G中取定的元，在G中规定结合法\?\： a?b?aub , 证
明：（G，?）是一个群。
?1f:x?x225.证明是G的一个自同构的充要条件是：G是可换群。
m226. 设G是有限群，H是G的子群，a?G,证明，存在最小正整数m，a?H，并且，
m是a的周期n的因数。
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227. 设S是域F的一个非零子环，证明，S是子域的充要条件是：对任意的x?S,x?0,
?1均有x?S。
228. 设R是一个有单位元1的整环，证明，R[x]中首项系数为1的多项式能分解成R[x]中既约多项式的乘积。
229. 设F?Z/(2)，证明f(x)?x3?x?1是F[x]中的既约多项式，写出F[x]/(f(x))的乘法表，并证明F[x]/(f(x))是f(x)的分裂域。
230. 设a、b是群G的元素，a的阶为2，b的阶为3，且ab=ba，证明ab的阶是6. 231. 证明：在n阶群G中每个元都满足xn=e.
??ab?232. 设A=???0c???????00?A1=???0x?????? a、b、c∈?关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明
??x∈?是A的子环，找出A到A1的一个同态满射f,求f的核N.
?(
)关于矩阵的乘法构成一个非交换
233. 全体可逆的 阶方阵的集合 群. 这个群的单位元是单位矩阵
.
每个元素(即可逆矩阵) 的逆元是 的逆矩阵
.
234. G?S3，H?{(1),(12)}。那么H是S3的一个子群。
235. 一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是: 一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：
a,b?H?ab?H;
236. 设
是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群.
是
的子群.
是所有行列
式等于1的 阶矩阵所组成的集合. 则
237. 群 的任何两个子群的交集也是 的子群.
238. 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同. 239. 有限群 的任一元素的阶都是群 的阶数的因子.
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240. 设 与 为群, 是 与 的同构映射, 则 为
的单位元;
(1) 如果 为 的单位元, 则 (2) 任给
,
为
的逆元, 即
241. 如果 是交换群, 则 的每个子群 都是 的正规子群. 242. 设
,
, 则
.
243. 群 的任何两个正规子群的交还是 的正规子群. 244. 设 与
是群, 是 到
的同态映射. 是 是
的单位元; 在
中的逆元. 即
(1) 如果 是 的单位元, 则 (2) 对于任意的
245. 设 与 的正规子群.
是群, 是 到
,
的满同态.如果 是 的正规子群, 则 是
246. 设247. 设
，的阶为，证明是循环群，G与
的阶是，其中。
同态，证明是循环群。
，又假定的阶是
，的阶是，
248. 假定和是一个群G的两个元，并且
，证明：
的阶是
。
249. 设 是一个环, 如果 有单位元, 则 的单位元是唯一的. 的单位元常记作 .
250. 设R为实数集，?a,b?R,a?0，令f(a,b,x?ax?b,?x?R，将R的所有这):R?R样的变换构成一个集合G??f(a,b)?a,b?R,a?0?，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。 251. 全体偶数 交换环.
252. 在一个无零因子环中, 两个消去律成立. 即设 或
, 则
.
为域.
,
, 如果
,
关于通常的数的加法与乘法构成一个没有单位元的
253. 证明
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