证明题
1、设G是群，a∈G ，令CG（a）= {x|x∈G ，xa = ax}，证明：CG（a）≤G 2、设G ~ G，H≤G，H = {x | x ∈G ，f（x）∈ H}。证明：H/Kerf ≌H. 3、证明：模m的剩余类环Zm的每一个理想都是主理想。
f
?ab??ox?4、设R = ??oc?? ，a，b，c ∈Z ，I = ??oo?? x∈Z 。
????（1）验证R是矩阵环Z2×2的一个子环。 （2）证明I是R的一个理想。
5、设G是群，u是G的一个固定元，定义“o”：aob = a u 2 b （a，b∈G），证明 （G，
o）构成一个群.
6、设R为主理想整环，I是R的一个理想，证明R/I是域?I是由R的一个素元生成
的主理想.
7、证明：模m的剩余类环Zm的每个子环都是理想.
8、设G是群，H≤G。令NG（H） = {x | x∈G，xH = Hx }.CG（H）= { x | x∈G，?h ∈
H，hx = xh }.证明： （1）NG（H）≤G
（2）CG（H）△NG（H）
9、证明数域F = {a＋b7|a，b∈Q}的自同构群是一个2阶循环群.
10、设R是主理想环，I = （a）是R的极大理想，ε是R的单位，证明：εa 是R的
一个素元.
11、设G与G是两个群，G ~ G，K = Kerf，H≤G，令H = {x |x∈G ，f(x) ∈
H}，证明：H≤G且H/K ≌H.
f
12、在多项式环Z[x]中，证明：
（1）（3，x）= {3a0＋a1x＋?＋anxn|ai ∈Z}. （2）Z[x]/(3，x)含3个元素.
13、设H是群G的子群,令NG(H)={x|x?G, xH=Hx},证明NG(H)是G的子群．
14、在整数环Z中, a, b?Z,证明(a, b)是Z的极大理想的充要条件是a, b的最大公因数是一个素数。
1
??ab????02x?????a,b,c?Zx?Z15、设R=??, I=????． ?0c????????00?? (1) 验证R对矩阵的加法和乘法构成环。 (2) 证明I是R的一个理想。
16、设G是群，令 C={x|x?G, ?y?G, xy=yx},证明C是G的正规子群。 17、在整数环Z中, p, q是不同的素数,证明 (p)?(q)=(pq), (p,q)=Z。 18、若Q是有理数域,证明(x)是Q[x]的极大理想。 19、设G=(a)是一无限循环群，证明G的生成元只有两个。
20、设G是交换群，证明G中一切有限阶元素组成的集合T是G的一个子群，
且G21、设RT除单位元之外不含有限阶元素。
?m???m,n?Z,(n,p)?1.p是质数?证明(R,+,?)是整环（+,?是数的加法?n??1与乘法）．
22、取定群G的元u,在G中定义新的“o” ：aob=aub.?a.b?G.证明（Ｇ，o）是群． 23、设A是实数域R上一切三阶方阵关于方阵的加法、乘法作成的环。证明
??a1?? N???b1??c??1oo????oo?a1,b1,c1?R?是A的一个左理想。
?oo???24、证明一个主理想环I的每一非零极大理想都是一个素元所生成的。 25、证明循环群的子群也是循环群。 26、证明（3，x）是Z[x]的一个极大理想。
27、I是一个整环，a, b?I,（a），（b），是两个主理想，证明（a）＝（b）的充要条件是
a与b相伴。
28、设p是一个素数，证明2p阶群G中一定有一个p阶子群N。
29、若G是一个群,e是G的单位元,G中任何元都是方程x2?e的解，证明G是一个交换群。
2
30、若G是一个循环群,N是G的一个子群,证明GN也是一个循环群. 31、证明环R的两个理想的交集仍是R的一个理想。
32、设I是一个主理想环,a, b?I, d是a是与b的一个最大公因子,证明(a, b)=(d)。 33、设G是一个43阶的有限群,证明G的子群只有单位元群及G本身。 34、在整数环Z中,证明Z∕(p)是域?p为质数(素数)。 35、在多项式环Z[X]中,证明(5,X)不是主理想。 36、证明群G为交换群?f:x?x?1(x?G)为G到G的一个同构映射。
37、设R是一有单位元的交换环，且R只有平凡理想，证明R是域。 38、证明阶是素数的群一定是循环群。
39、证明在高斯整数环Z[i]={a+bia,b?Z, i2=-1}中，3是一个素元。 40、设Z是整数环, x是Z上的未定元, 证明Z[x]的生成理想。 (3,x)={3a0?a1x???anx|ai?Z,0?n?Z},并且剩余类环Z[x]41、 证明(5,x)不是Z[x]的主理想。
42、设G是一个1000阶的交换群，a是G的一个100阶元，证明 G43、证明整数环Z到自身的所有同态映射为零同态和恒等同态。
44、设F22是有理数域上的二阶方阵环，证明F22只有零理想和单位理想，但F22不是一个除环。
45、设G是群，f：G→G，a?a2,(a?G)证明f是群G的自同态?G是交换群。 46、设G=｛（a, b）|a, b?|R,a?0｝，在G上定义“?”：(a, b)?(c,d)?(ac,ad?b) 证
明（G，?）构成一个群。
47、设G是有限交换群，f：G?G,f(g)=gk(?g?G)证明f?Aut(G)?(k,|G|)=1。 48、设G是100阶的有限交换群，f: G?G, f(g)=g49(?g?G),证明f?Aut(G)。 49、设A?G,B?G如果存在a, b?G,使得Aa=Bb,则A=B。
50、设G是交换群，m是固定的整数，令H=｛a|a?G, am=e｝，证明H?G。 51、设H?G,令CG(H)=｛g|g?G,?h?H,gh=hg｝，证明CG(H)?G。
3
(3,x)={[0]，[1]，[2]}。
?a??Z10。
52、设G是非空有限集合，“?”是G的一个二元运算，“?”适合结合律及左、右消去律，证明：(G,?)构成一个群，当G是无限集时呢？ 53、设G是2000阶的交换群，H?G,|H|=200，证明：GH是一个循环群。
54、证明：无限循环群的生成元的个数只有两个。反之，一个循环群G的生成元只有两
个，则G是否一定同构于Z ？
55、设G是一个循环群，|G|?3,4,G的生成元的个数为2，证明G?Z。 56、设G是有限群，H?G, a?G,证明存在最小正整数m,使am?H,且m|a。 57、设G是奇阶群，则对任意g?G, 存在唯一元x?G, 使g=x2。 58、证明：整数加群Z与偶数加群2Z同构。
59、设H?G, g是G的一个固定元素，gHg-1=｛ghg-1|h?H｝ （1）证明: gHg-1?G。 （2）证明: H?gHg?1。
??a2b??60、设G=a?b2|a,b?Q,H?????ba?|a,b?Q?，G对复数的加法构成群，H对矩阵
??????的加法也构成群，证明：G?H。
61、设H是群G的非空子集, 且H中元的阶都有限，证明：
H?G?H2?H。
62、设N?G, |G/N|=10, g?G, |g|=12, 证明: g2?N。
63、设G是群，a, b?G, ab=ba,|a|=m, |b|=n, ∩=｛e｝.证明：|ab|=[m, n]
([m, n]是m, n的最小公倍数)。
64、设?是一个n次置换，集合X=｛1, 2, 3, ?, n｝，在X中，规定关系“~”为
k~l??r?Z, 使?r(k)=l.证明：“~”是X上的一个等价关系。 65、设K=｛(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)｝证明：K?S4。 66、设G是群，H?G, 规定关系“~”
a ~ b?ab?1?H,?a,b?G 证明：~是G的一个等价关系，且a所在的等价类[a]=Ha。
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67、证明：15阶群至多含有一个5阶子群。
68、设H?G, 若H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，证明H?G。 69、设N?G, [G:N]=2004, 证明：对?x?G, 恒有x2004?N。 70、设N?G, [G:N]=4,证明：存在M?G,且[G:M]=2。
71、设H，N?G, H?N??e?,a?H,b?N,|a|?2,|b|?3证明：|ab|=6。 72、设H?G, 证明：H?G??a,b?G,如果由ab?H?ba?H。 73、设k|m, 证明:
Zm?k??Zk。
74、群G的非平凡子群N称为G的极小子群，如果不存在子群B使得?e??B?N, 证明：
整数加群Z没有极小子群。
75、如果C(G)是循环群，证明：G是交换群（其中C(G)是群G的中心）。 76、证明：6阶交换群是循环群。举例说明6阶群不一定是循环群。
77、证明：在一个有单位元的环R中，全体可逆元组成的集合对R的乘法构成一个群。 78、设R为环，如果每个元素a?R都满足a2=a，证明R为交换环。
79、环R中元素a称作幂零的，是指存在正整数m，使得am=0，证明：当R为交换环时，
两个幂零元素之和，两个幂零元素之积都为幂零元素。
80、设R和R都是含单位元的环，1R?0R， f是R到R的满同态，证明：（1）f(1R)=1R； （2）如果a是R的单位，则f(a)是R的单位。
??00????A?|x,y?R81、设 ???证明：A是关于矩阵的加法和乘法构成一个无单位元的环。?xy????___G82、证明：一个具有素数个元素的环是交换环。
83、设R是一个有单位元1R的无零因子环，证明：如果ab=1R则ba=1R
84、设R是交换环，X是R的非空子集，令Ann(X)??r|r?R,rx?0,?x?X? 证明：Ann(X)是R的理想。
85、设R是环，I， J是R的两个理想，令
?I:J???x?R|xJ,Jx?I?，证明：[I:J]是R5
