（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中再利用弦化切的方法即可求的值． ，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A﹣B）可化为解答： ，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值． ， 解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得 即sinAcosB=4cosAsinB， 则（Ⅱ）由tanA=4tanB＞0 ； 得 当且仅当故当时， 时，等号成立， tan（A﹣B）的最大值为． 点评： 在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式． 15．（2014?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=﹣sinBcosB． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．
考点： 正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦． 专题： 解三角形． 分析： （Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值． ，cosA﹣cosB=
22
sinAcosA
?cos（A+B）sin（A﹣B）． （Ⅱ）由 sinA= 求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得 sinB=sin[（A+B）﹣A]的值，从而求得△ABC的面积为 的值． ，cosA﹣cosB=sin2B， ?cos（A+B）sin（A﹣B）． 22解答： 解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=∴﹣=sinAcosA﹣sinBcosB， sin2A﹣即 cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，
∴tan（A+B）=﹣（Ⅱ）∵sinA=＜由正弦定理可得，，∴A+B=，C==，∴C=． （舍去），∴cosA==． ，∴A＜，或A＞，即 =，∴a=． ∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=∴△ABC的面积为 =×=． ﹣（﹣）×=， 点评： 本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题． 16．（2014?安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求sin（A+
）的值．
考点： 正弦定理；两角和与差的正弦函数． 专题： 综合题；三角函数的求值． 分析： （Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值； （Ⅱ）求出sinA，cosA，即可求sin（A+解答： 解：（Ⅰ）∵A=2B，∴a=6cosB， ∴a=6， ，b=3， ）的值． ∴a=2； （Ⅱ）∵a=6cosB， ∴cosB=∴sinB=， ， ，cosA=cos2B=2cosB﹣1=﹣， （sinA+cosA）=． 2∴sinA=sin2B=∴sin（A+）=点评： 本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 17．（2014?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求cos（2A﹣
）的值．
b，sinB=
sinC，
考点： 正弦定理；两角和与差的余弦函数． 专题： 三角函数的求值．
分析： （Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值； （Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值． 解答： 解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c， 代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c， ∴cosA===； （Ⅱ）∵cosA=∴sinA=2，A为三角形内角， =， ， +×=． ∴cos2A=2cosA﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×点评： 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 18．（2014?广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．
考点： 正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 解三角形． 分析： 由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出． 解答： 解：∵3acosC=2ccosA， 由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA， ∴3tanA=2tanC， ∵tanA=， ∴2tanC=3×=1，解得tanC=． ∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1， ∵B∈（0，π）， ∴B= 点评： 本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 19．（2014?辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知（Ⅰ）a和c的值；
?=2，cosB=，b=3，求：
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值． 考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数． 专题： 三角函数的求值． 分析： （Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简?=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a+c=13，联立即可求出ac的值； （Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值． 解答： 解：（Ⅰ）∵?=2，cosB=， 22∴c?acosB=2，即ac=6①， ∵b=3， ∴由余弦定理得：b=a+c﹣2accosB，即9=a+c﹣4， 22∴a+c=13②， 联立①②得：a=3，c=2； （Ⅱ）在△ABC中，sinB=由正弦定理====， ， 22222得：sinC=sinB=×∵a=b＞c，∴C为锐角， ∴cosC===， 则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=． 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键． 20．（2014?重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值； （Ⅱ）若sinAcos
2
+sinBcos
2
=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．
考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 三角函数的求值． 分析： （Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可； （Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值． 解答： 解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8， ∴c=8﹣（a+b）=，
∴由余弦定理得：cosC===﹣； （Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA?+sinB?=2sinC， 整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC， ∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC， ∴sinA+sinB=3sinC， 利用正弦定理化简得：a+b=3c， ∵a+b+c=8， ∴a+b=6①， ∵S=absinC=sinC， ∴ab=9②， 联立①②解得：a=b=3． 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 21．（2014?陕西）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值． 考点： 余弦定理；等差数列的通项公式；等差关系的确定． 专题： 三角函数的求值． 分析： （Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证； （Ⅱ）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值． 解答： 解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列， ∴a+c=2b， 由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB， ∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）， 则sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）∵a，b，c成等比数列， 2∴b=ac， 22将c=2a代入得：b=2a，即b=a， ∴由余弦定理得：cosB===． 点评： 此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 22．（2014?北京）如图，在△ABC中，∠B=（1）求sin∠BAD；
（2）求BD，AC的长．
，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．
