2015年三角函数与解三角形解答题专项训练
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2015?河南二模）已知函数f（x）=sin（
﹣ωx）（ω＞0）任意两个零点之间的最小距离为
．
（Ⅰ）若f（α）=，α∈[﹣π，π]，求α的取值集合； （Ⅱ）求函数y=f（x）﹣cos（ωx+ 考点： 正弦函数的单调性． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）首先根据任意两个零点之间的距离求出最小正周期，进一步确定α的集合． （Ⅱ）通过三角恒等变换求出正弦型函数的解析式，进一步利用整体思想求单调区间． 解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（﹣ωx）=cosωx，任意两个零点之间的最小距离为， ）的单调递增区间．
所以：f（x）的最小正周期为π，故T=又ω＞0， 故ω=2 由f（α）=，得cos2α=， 所以即 ，（k∈Z）， =π， 又α∈[﹣π，π]， 所以（Ⅱ）函数 y=cos2x﹣cos（2x+令解得：所以函数的单调递增区间为：[ ]（k∈Z）． ）=（k∈Z）， ． = 点评： 本题考查的知识要点：正弦函数的最小正周期的求法，正弦型函数的单调区间． 2．（2015?泸州模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜数f（x）的图象向左平移
个单位后图象关于y轴对称．
）图象的相邻两对称轴间的距离为
，若将函
（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=﹣
cosωx，其中g′（x）是g（x）的导函数，若g（x）=，且
，
求cos2x的值． 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的求值． 分析： （Ⅰ）由周期求得ω，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，结合正弦函数的图象和性质求得使f（x）≥成立的x的取值范围． （Ⅱ）由条件求得g（x）的解析式，再利用两角差的余弦公式求得cos（2x）=cos[（2x+解答： 解：（Ⅰ）∵函数∴函数的周期T=π，将f（x）的图象向左平移∵又由∴使（Ⅱ）∵令∴∵∵∴，∴，∴． ，∴， ． 得． ，∴得：的x的取值范围是，∴，解得， ，∴f（x）=sin（2x+φ）． 个单位后得到的函数为， ． ， ，即． ． ， ．再根据）﹣]的值． 图象的相邻两对称轴间的距离， ，求得，图象关于y轴对称，∴，即点评： 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题． 3．（2015?泸州模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜数f（x）的图象向左平移
个单位后图象关于y轴对称．
）图象的相邻两对称轴间的距离为
，若将函
（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围；
（Ⅱ）设=，且
，求cosx的值．
，其中g'（x）是g（x）的导函数，若g（x）
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；导数的运算． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）由周期性求得ω，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得f（x）的解析式，从而求得使f（x）≥成立的x的取值范围． （Ⅱ）由条件求得g（x）的解析式，再由g（x）=，求得sin（x+由cosx=cos[（x+解答： 解：（Ⅰ）∵函数∴函数的周期T=π，将f（x）的图象向左平移∵∴由∴使（Ⅱ）∵∴令解得∵∴，∴得，所以，∵，∴． ， ， ． ，∴， ，即得：的x的取值范围是，∴f（x）=sin（2x+φ）， 个单位后得到的函数为， ，又， ）﹣]，利用两角差的余弦公式求得结果． 图象的相邻两对称轴间的距离， ）的值，可得cos（x+）的值，再图象关于y轴对称，∴． ，即． ，， 点评： 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，两角差的余弦公式，属于基础题． 4．（2015?泸州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosC=csinA． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为
，求
的值．
考点： 正弦定理；平面向量数量积的运算．
专题： 解三角形． 分析： （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，由sinA不为0求出tanC的值，即可确定出角C的大小； （Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把a，sinC，以及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值，求出cosA的值，利用平面向量的数量积运算法则即可确定出原式的值． 解答： 解：（Ⅰ）∵acosC=csinA， 由正弦定理得：sinAcosC=sinCsinA， ∵0＜A＜π，∴sinA＞0， ∴cosC=sinC，即tanC=， 又0＜C＜π，∴C=； ， ， （Ⅱ）∵a=3，△ABC的面积为∴S=absinC=×3bsin∴b=2， =由余弦定理得：c=4+9﹣6=7，即c=则?=bccos（π﹣A）=2×（﹣2，cosA=）=﹣1． =， 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 5．（2015?重庆一模）已知向量=（cosax，sinax），=（
cosax，﹣cosax），其中a＞0，若函数f（x）=
的
图象与直线y=m（m＞0）相切，且切点横坐标成公差为π的等差数列． （1）求a和m的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边．若c的值． 考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算． 专题： 解三角形． 分析： （1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，根据题意确定出函数的周期及最大值，即可求出a与m的值； ，且a=4，求△ABC面积的最大值及此时b、
（2）由确定出的解析式及f（）=，求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把sinA的值代入，表示出三角形ABC面积，利用余弦定理列出关系式，把cosA与a的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时b与c的值． 解答： 解：（1）∵=（cosax，sinax），=（∴f（x）=?=cosax﹣sinaxcosax=2cosax，﹣cosax）， ﹣sin（2ax﹣）， ﹣1＜0， 由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m＞0，∴a=1，m=+1； ，∴sin（A﹣）=0，
（2）∵f（）=
又A为△ABC的内角，∴A=∴S△ABC=bcsinA=∵cosA=，a=4， ∴由余弦定理得：a=b+c﹣2bccosA，即b+c=16+bc≥2bc，当且仅当b=c时取等号， 整理得：bc≤16， ∴S△ABC=bc≤4， 22222， bc， 则当且仅当b=c=4时，△ABC的面积取得最大值4． 点评： 此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 6．（2015?资阳模拟）已知函数f（x）=
msinxcosx+mcosx+n（m，n∈R）在区间[0，
2
]上的值域为[1，2]．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间； （Ⅱ） 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，当m＞0时，若f（A）=1，sinB=4sin（π﹣C），△ABC的面积为，求边长a的值． 考点： 余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质；解三角形． 分析： （Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），对m讨论，m＞0，m＜0，根据值域求得m，n，再求单调增区间； （Ⅱ）当m＞0时，求得A，再由正弦定理得到b=4c，由面筋公式，即可得到b，c 再由余弦定理求得a． 解答： 解：（Ⅰ） = =当时，=，则， ． 由题意知m≠0， ①若m＞0，则， 解得m=2，n=﹣1，则由得函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）， ， ，k∈Z． ②若m＜0，则， 解得m=﹣2，n=4．则，
