47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：?an?是公差为d的等差数列，求1 ?aak?1kk?1n 解：由n111?11???????d?0?
ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?n11?11? ∴??????
ak?1?k?1akak?1k?1d?ak?
?11??11??11?1??????????????????d??a1a2??a2a3??anan?1??1?11????d?a1an?1?
?［练习］ 求和：1?111????? 1?21?2?31?2?3????n1） n?1 （an??????，Sn?2? （2）错位相减法：
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项
和，可由Sn?qSn求Sn，其中q为?bn?的公比。
如：Sn?1?2x?3x2?4x3????nxn?1?1?
x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?????n?1?xn?1?nxn ?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2????xn?1?nxn x?1时，Sn?2?
1?x?nx???nn?1?x?21?x
x?1时，Sn?1?2?3????n?n?n?1?2
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
Sn?a1?a2????an?1?an???相加
Sn?an?an?1????a2?a1?? 2Sn??a1?an???a2?an?1??????a1?an???
［练习］
x2?1??1??1? 已知f(x)?，则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f????????2??3??4?1?x2
x?1? （由f(x)?f?????x?1?x22x21???1 2221?x1?x?1?1????x??1???3???1??4??1????x?2 ∴原式?f(1)??f(2)?f?????f(3)?f?????f(4)?f???
?????????1???2?? ?11?1?1?1?3） 22 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为： Sn?p?1?r??p?1?2r?????p?1?nr??p?n???n?n?1??r???等差问题 2? △若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款
种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足 p(1?r)n?x?1?r?n?1?x?1?r?n?2????x?1?r??x
n?1??1?r?n?1?r??1? ?x? ??x1?1?rr?????? ∴x?pr?1?r?n?1?r?n?1
p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 （1）分类计数原理：N?m1?m2????mn （mi为各类办法中的方法数） 分步计数原理：N?m1·m2??mn （mi为各步骤中的方法数）
（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn.
An?n?n?1??n?2????n?m?1??mn!?m?n?
n?m!?? 规定：0!?1
（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.
n?n?1????n?m?1?Amn! C?n ??mm!m!?n?m?!Ammn 规定：C0n?1 （4）组合数性质：
n?mm?101nn Cm，Cm?Cmn?Cnn?Cnn?1，Cn?Cn????Cn?2
50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
xi?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x1?x2?x3?x4，
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15 解析：可分成两类：
C. 12
D. 10
?? （1）中间两个分数不相等，
4 有C5?5（种）
（2）中间两个分数相等 x1?x2?x3?x4
相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理
(a?b)?Cna?Cnan0n1n?1n?22n?rrnb?C2b???Crb???Cnnananb
rn?r 二项展开式的通项公式：Tr?1?Cnarbr(r?0，1??n)
Cn为二项式系数（区别于该项的系数） 性质：
rn?rr?0，1，2，??，n （1）对称性：Cn?Cn??1nn （2）系数和：C0n?Cn???Cn?2 35024n?1 C1 n?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2 （3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
?n?2；n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的二项式 ??1?项，二项式系数为Cn?2?n?1n?1系数最大即第项及第?1项，其二项式系数为Cn2?Cn2
22 如：在二项式?x?1?的展开式中，系数最小的项系数为表示）
（∵n＝11
∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第11nn?1n?1（用数字
12?6或第7项 2r 由C11x11?r(?1)r，∴取r?5即第6项系数为负值为最小： 65 ?C11??C11??426
又如：?1?2x?2004?a0?a1x?a2x2????a2004x2004?x?R?，则
（用数字作答）
?a0?a1???a0?a2???a0?a3??????a0?a2004?? （令x?0，得：a0?1
令x?1，得：a0?a2????a2004?1
∴原式?2003a0?a0?a1????a2004?2003?1?1?2004） 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？
（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0
（2）包含关系：A?B，“A发生必导致B发生”称B包含A。
A B ??
（3）事件的和（并）：A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B
的和（并）。
（4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。 A·B??
（6）对立事件（互逆事件）：
“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A A?A??，A?A??
（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。
53. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即 P(A)?A包含的等可能结果m?
一次试验的等可能结果的总数n （2）若A、B互斥，则P?A?B??P(A)?P(B) （3）若A、B相互独立，则PA·B?P?A?·P?B? （4）P(A)?1?P(A)
（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生
??
