概率
58
18
14
由此得2X的分布律为 Ｘ ２ ４ ６ 概率 58 18 2 14 3 6 18（４） 1 XY 概率 14 38 14 ??1?4???1?4?１０. 设随机变量Ｘ、Ｙ相互独立，X~B?1,?,Y~B?1,?, （１） 记随机变量Z?X?Y，求Z的分布律；
解（１）由于X~B?1,?,Y~B?1,?，且Ｘ与Ｙ独立，由分布可加性知
?4??4??1??1??2??1??3??1?即P?Z?k??P?X?Y?k???X?Y~B?2,?，?k???????4????4??4?Zk2?k,k?0,1,2,经计算有
０ 916１ 616２ 116概率 13. 设?X,Y?的密度函数为f?x,y?，用函数f表达随机变量X?Y的密度函数。
解 设Z?X?Y,则Z的分布函数
FZ?z??P?Z?z??P?X?Y?z????f?x,y?dxdy??????dx?z?x??f?x,y?dxdy。
x?y?z对积分变量y作变换u?x?y，得到
?z?x??f?x,y?dy????z??f?x,u?x?du
于是 FZ?z???FZ?z????z???????z???????f?x,u?x?dx?du
????f?x,u?x?dudx，交换积分变量x,u的次序得
从而，Z的密度函数为fZ?z???fZ?z????f?x,z?x?dx，
把X与Y的地位对换，同样可得到Z的密度函数的另一种形式
???f?z?y,y?dy。
习题七
1. 设X的分布律为， X 概率 -1 130 161216 1 1122 14 求（1）EX，（2）E(?X?1)，（3）E(X2)，（4）DX。 解 由随机变量X的分布律，得 X -X+1 X2 P 所以 E?X??(?1)??0????1?31111162612431111112E??X?1??2??1????0??(?1)??
36261243111111352 E?X??1??0????1??4??36461242435129722 D(X)?E(X)?(E(X))??()?24372?2?1?112121416-1 2 1 130 1 0 16 1 0 1 1122 -1 4 14
另外，也可根据数学期望的性质可得：
E??X?1???E?X??1??13?1?23
3. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求X2的数学期望E?X2?。
解 X~B?10,0.4?
所以 E?X??10?0.4?4,D?X??10?0.4?0.6?2.4 故 E?X2??D?X???E?X???2.4?42?18.4
2?2(1?x),0?x?1 7. 某商店经销商品的利润率X的密度函数为f(x)??，求
0其他?EX,DX。
解 （1）E?X???x?2(1?x)dx?
0113 （2）E?X2???x2?2(1?x)dx?0116
故D(X)?E(X2)?(E(X))2?1121?()?6318
9. 设随机变量?X,Y?的联合分布律为 X\\Y 0 1 0 0.3 0.4 1 0.2 0.1 求E?X?、E?Y?、E?X?2Y?、E?3XY?、D?X?、D?Y?、cov?X,Y?、?X,Y。 解 关于X与Y的边缘分布律分别为： X 0 1 Y 0 1 Pr 0.5 0.5 Pr 0.7 0.3 E?X??0?0.5?1?0.5?0.5 EX?2??02?0.5?1?0.5?0.522D?X??0.5??0.5??0.25E?Y??0?0.7?1?0.3?0.3EY???022?0.7?1?0.3?0.322D?Y??0.3??0.3??0.21E?X?2Y??E?X??2E?Y??0.5?2?0.3??0.1E?3XY??3E?XY??3?0?0?0.3?0?1?0.2?1?0?0.4?1?1?0.1??3?0.1?0.3cov?X,Y??E?XY??E?X??E?Y??0.1?0.5?0.3??0.05cov?X,Y?D?X?D?Y?
?X,Y???0.050.250.21??212113. 设随机变量X,Y相互独立，且E?X??E?Y??1,D?X??2,D?Y??3，求
D?XY?。
解
D?XY??EXY22????E?XY???E?X?E?Y???E?X??E?Y??2222222?D?X???E?X???2??D?Y???E?Y?????E?X???E?Y??
??2?1??3?1??1?1?1114. 设D?X??25,D?Y??36,?X,Y?0.4，求（1）D?X?Y?；（2）D?X?Y?。
解：（1）D?X?Y??D?X??D?Y??2?X,YD?X?D?Y?
?25?36?2?0.4?25?36?85
（2）D?X?Y??D?X??D?Y??2?X,YD?X?D?Y?
?25?36?2?0.4?25?36?37
19题没答案
习题九
6. 设X1,X2,?,X5是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个Xi?i?1,2,?,5?都服从??0,1?。
（1）试给出常数c，使得c?X12 解 （1）易见，X12服从??X2即为二个独立的服从??0,1?的随机变量平方和，
22?X22?服从?2分布，并指出它的自由度；
?2?分
布，即c?1；自由度为2。 7. 设?X1,X2,?,Xn?是取自总体X的一个样本，在下列三种情况下，分别求E?X?,D?X?,E?S2?：（1）X其中??0。
解 （1）X~B?1,p?
2（3）X~R?0,2??，~B?1,p?；
E?X??p,E?X??p,D?X??p?1?p?
?1n?1nE?X??E??Xi???E?Xi??p?ni?1?ni?1n1?1n? D?X??D??Xi??2?ni?1?n2?D?Xi??i?1p?1?p?n
2?1?n1?n?1n22?22?E?S??E???Xi?X?n??E??Xi?nX????E?Xi??nE?X???ni?1?n?i?1?n?i?1?21?n???D?Xi???E?Xi???nD?X??E?X?n?i?1?????2?????p?1?p???1?2??np?n??p??n?n?????1????1??p?1?p?n??
（3）X~R?0,2??，其中??0
E?X???D?X???23E?X???D?X??ES
?23n??21?n1??2??2???D?Xi???E?Xi???nD?X???E?X?????1-?n?i?1??n?3????2
习题十
1. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：
（2）X~E???，其中?未知，??0。
（2）E?X??1?，令
1??X??，故?的矩估计量?1X。
另，X的密度函数为
fX?x??
?e0??x
x?0x?0
故似然函数为
nL???? ?ne0???Xii?1
Xi?0,i?1,2,?,n其他
对数似然函数为
lnL????nln????Xii?1ndlnL???d??nn
1X???Xi?0i?1??解得?的最大似然估计量?nn?。
?Xii?1可以看出?的矩估计量与最大似然估计量是相同的。
3. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，其中X服从区间?0,??的均匀分布，其中??0未知，求?的矩估计。
，故?的矩估计量???2X。
解 E?X???2，令
?2?X
