过10min，他就离开。
（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。
解 （1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从??的指数分布，且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服
51务就离开的概率为
P?X?10???10??15e?x5dx?e?2；
（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从n?5,p?e?2的二项分布，所求概率为
P?Y?1??P?Y?0??P?Y?1?0?25?5??2???0??e???1?4e???1?e??2?5??2?2???e1?e?1?????4
???1?e??2421. 设X服从??0,1?，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P?X（2）P?X?176?；（3）P?X解 查正态分布表可得 （1）P?X（2）P?X（3）P?X（4）P?X?2.2????2.2??0.9861；
?1.76??1?P?X?1.76??1???1.76??1?0.9608?0.0392； ??0.78?????0.78??1???0.78??1?0.7823?0.2177；
?2.2?；
（4）P?X?1.55?；（5）P?X?2.5?。 ??0.78?；
?1.55??P??1.55?X?1.55????1.55?????1.55?
???1.55???1???1.55???2??1.55??1?2?0.9394?1?0.8788 （5）P?X?2.5??1?P?X?2.5??1??2??2.5??1?
?2?2??2.5??2?1?0.9938??0.0124。
22. 设X服从???1,16?，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）（2）P?X??1.5?；（3）P?X??2.8?；（4）P?X?4?；（5）P??5?X?2?；P?X?2.44?；（6）P?X?1?1?。
解 当X~??,??2b????a????时，P?a?X?b??????????，借助于该性质，
??????再查标准正态分布函数表可求得
（1）P?X?2.44?1??2.44????????0.86??0.8051；
4????1.5?1???1.5??1?????1????0.125?
4???1??1???0.125?????0.125??0.5498；
（2）P?X（3）P?X??2.8?1???2.8?????????0.45??1???0.45??1?0.6736?0.3264；
4???4?1???4?1??4????????????1.25?????0.75?
?4??4????1.25??1???0.75??0.8944?1?0.7734?0.6678；
（4）P?X（5）P??5?X?2?1???5?1??2????????????0.75?????1?
?4??4????0.75????1??1?0.7734?0.8413?1?0.9321；
（6）P?X??2?1??0?1???1?1??1?P?X?1?1??1?P?0?X?2??1??????????44?????? 8：30，
24. 某人上班所需的时间X~??30,100?（单位：min）已知上班时间为
他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟
到一次的概率。
解 （1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为
?40?30?P?X?40??1?????1???1??1?0.8413?0.1587；
?10?（2）记Y为5天中某人迟到的次数，则Y服从n?5,p?0.1587的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为
?5??5?054??????P?Y?1???0.1587?0.8413??1??1??0.1587??0.8413??0.8192????
习题五
3. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：
X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量?X,Y?的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。
解 （1）在放回抽样时，X可能取的值为0,1，Y可能取的值也为0,1，且
P?X?0,Y?0??P?X?1,Y?0??8?810?102?810?10??1625425,P?X?0,Y?1??,P?X?1,Y?1??8?210?102?210?10?425125,,
?或写成 X\\Y 0 0 1 16254251 425125 （2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为
P?X?0,Y?0??P?X?1,Y?0??8?710?92?810?9??2845845,P?X?0,Y?1??,P?X?1,Y?1??8?210?92?110?9?845145,,
?或写成 X\\Y 0 0 1 28458451 845145 5. 对于第3题中的二维随机变量?X,Y?的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关于X及关于Y的边缘分布律。
解 在有放回情况下X的边缘分布律为 X 0 1 概率 45 15 Y的边缘分布律为 Y 0 1 概率 45 15 在无放回情况下X的边缘分布律为 X 0 1 概率 45 15 Y的边缘分布律为 Y 0 1 概率 45 15 6. 求在D上服从均匀分布的随机变量?X,Y?的密度函数及分布函数，其中D为x轴、y轴及直线y?2x?1围成的三角形区域。
解 区域D见图5.2。 易算得D的面积为S?f?x,y??
124,0,
24?x,y??D?1?1?1，所以?X,Y?的密度函数
y 1 其他
?X,Y?的分布函数
F?x,y????????f?x,y?dxdy
yx当x??或y?0时，F?x,y??0； 21 当
?12y?x?0,0?y?2x?1x时
2 ?, -1 12 0 1 x 图5.2
F?x,y???0dy?y?14dx?4xy?2y?y2；
x122x?12当?12?x?0,y?2x?1时，F?x,y???y0?dx?04dy?4x?4x?1；
当x?0,0?y?1时，F?x,y???0dy?y?14dx?2y?y2；
2当x?0,y?1时，F?x,y???综合有
0,
0?dx?0122x?14dy?1
2x??1212或y?0
4xy?y?2y,
F?x,y??
??12?x?0且0?y?2x?1
4x?4x?1, 2y?y,
22 ?x?0且y?2x?1
x?0且0?y?1
1,
x?0且y?18. 在第3题的两种情况下，X与Y是否独立，为什么？ 解 在有放回情况下，由于P?X即P?X?0,Y?0??1625，而P?X?0?P?Y?0??45?45?1625，
?0,Y?0??P?X?0?P?Y?0?；容易验证P?X?0,Y?1??P?X?0?P?Y?1?,
P?X?1,Y?0??P?X?1?P?Y?0?,P?X?1,Y?1??P?X?1?P?Y?1?，由独立性定义知X
与Y相互独立。
在无放回情况下，由于P?X易见P?X?0,Y?0??2845，而P?X?0?P?Y?0??45?45?1625，
?0,Y?0??P?X?0?P?Y?0?，所以X与Y不相互独立。
9. 在第6题中，X与Y是否独立，为什么？ 解
?11??1??1?4f??,??4，而fX????2,fY????43??4??3?3，易见
?11??1??1?f??,??fX???fY??，?43??4??3?所以X与Y不相互独立。
10. 设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律： X -2 -1 0 0.5 Y -0.5 1 概率 143
14
13
112
13 概率 12
14
写出表示?X,Y?的分布律的表格。
解 由于X与Y相互独立，因此
PX?xi,Y?yj?P?X?xi?PY?yj,i?1,2,3,4,j?1,2,3,
????例如P?X??2,Y??0.5??P?X??2?P?Y??0.5??14?12?18
其余的联合概率可同样算得，具体结果为 X\\Y -0.5 1 3 -2 -1 0 0.5 181612416 116112148112 116112148112 11. 设X与Y是相互独立的随机变量，X服从?0,0.2?上的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，求?X,Y?的联合密度函数及P?X解. 由均匀分布的定义知
?Y?。
