习题四 2. 试确定常数c，使P?X?i??律，并求：P?X?2?；P?c2ic2i,?i?0,1,2,3,4?成为某个随机变量
X的分布
?1?2?X?5??。 2?4解 要使
成为某个随机变量的分布律，必须有?i?0c2i由此解得c??1，
1631；
（2） P?X?2??P?X?0??P?X?1??P?X?2? ??1?216?11?28 ?1????31?24?31（3）P??X?5?16?11?12。 ??P?X?1??P?X?2??????2?31?24?313. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的
数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。
解 X可能取的值为-3，1，2，且P?X??3??,P?X?1??3112,P?X?2??16，
即X的分布律为 X -3 1 概率 132 16 12 X的分布函数 0 x??3
F?x??P?X?x?=
1356 ?3?x?1 1?x?2
1 x?2
5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。
解 依题意X服从参数n?5,p?0.6的二项分布，因此，其分布律
?5?k5?k?P?X?k???0.60.4,k?0,1,?,5， ?k???具体计算后可得 X 0 1 概率 3231252 1446253 2166254 1626255 2433125 48625 6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。
（1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2） 每次取出的产品都不放回这批产品中； （3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。
解 （1）设事件Ai,i?1,2,?表示第i次抽到的产品为正品，依题意，
A1,?,An,?相互独立，且P?Ai??1013,i?1,2,?而
k?1P?X?k??PA1?Ak?1Ak?PA1?PAk?1???????3?P?Ak?????13?1013,k?1,2,?
即X服从参数p?1013的几何分布。
（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，
P?X?1??P?X?3??1013,P?X?2???3?1013?125143?526,3?2?1?1013?12?11?10?12863?2?1013?12?11
.,P?X?4??X的分布律为 X 1 2 概率 10133 51434 12863?1113?13722197 5261013 （3）X可能取到的值为1，2，3，4，
P?X?1??P?X?3??,P?X?2????33169,3?2?113?13?13?621973?2?1213?13?13
.,P?X?4??所求X的分布律为 X 1 2 3 概率 10134 62197 33169 722197 由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。
7. 设随机变量X解 由于X~B?6,p?，已知P?X?1??P?X?5?，求p与P?X?2?的值。
?6?k6?k~B?6,p?，因此P?X?6????k??p?1?p?,k?0,1,?,6。
??由此可算得 P?X即
?1??6p?1?p?,P?X?5??6p?1?p?,
55556p?1?p??6p?1?p?, 解得p?；
21?6??1??1?此时，P?X?2????2???2??2???????26?2?6?515?1?????2!64?2?69. 某商店出售某种物品，
根据以往的经验，每月销售量X服从参数??4的泊松分布，问在月初进货时，
要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？
解 设至少要进n件物品，由题意n应满足
P?X?n?1??0.99,P?X?n??0.99,
n?14k即 P?X?n?1???k?0k!e?4?0.99
P?X?n???k?0n4kk!e?4?0.99
查泊松分布表可求得 n?9。
10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。
解 设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从n?1000,p?0.0001的二项分布，即X~B?1000,0.0001?，由于n较大，p较小，因此也可以近似地认
~P?0.1?，所求概率为
为X服从??np?1000?0.0001?0.1的泊松分布，即XP?X?2??1?P?X?0??P?X?1??1?0.100!e?0.1?0.11!1e?0.1
?1?0.904837?0.090484?0.004679.11. 某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。
解 设事件Ai表示第i次试验成功，则P?Ai??0.75，且A1,?,An,?相互独立。随机变量X取k意味着前k?1次试验未成功，但第k次试验成功，因此有
P?X?k??PA1?Ak?1Ak?PA1?PAk?1P?Ak??0.25??????k?10.75
所求的分布律为 X 1 概率 0.75 2 0.25?0.75 … … 0.25kk?1 ?0.75 … … 12. 设随机变量X的密度函数为 f?x??
2x， 0?x?A
0， 其他， 试求：（1）常数A；（2）X的分布函数。
解 （1）f?x?成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为
f?x??0；其二为???f?x?dx?1，因此有?02xdx?1，解得A??1，其中A??1舍去，
??A即取A?1。
（2）分布函数
F?x??P?X?x?????f?x?dx
x???0dxxx?0x = ???0dx??02xdx???0dx??02xdx??10dx001x0 0?x?1 x?1x?02 =
x1 0?x?1 x?113. 设随机变量X的密度函数为f?x??Ae?x,???x???，求：（1）系数A；（2）P?0?X（3）X的分布函数。 ?1?；
??解 （1）系数A必须满足???Ae?xdx?1，由于e?x为偶函数，所以
???Ae???xdx?2?0??Ae?xdx?2?0??Ae?xdx?1
解得A?；
21（2）P?0?X?1???0x112e?xdx??0112e?xdx?12?1?e?；
?1（3）F?x?????f?x?dx
=
???e22x11?xdxdx??0x1x?0
e?x
x?0???e0?x2dx =
??x1212x??0edxedx??xxxx?012
edx?x
x?0??01 =
212ex?0?12?1?e??x
x?0
1 =
2exx?01?12
e?x
x?0 17. 设某药品的有效期X以天计，其概率密度为
f?x??
20000?x?100?3, x?0;
0， 其他.
求：(1) X的分布函数；(2) 至少有200天有效期的概率。
0,x?0;20000dx,3解 (1)
F?x?????f?x?dx=
x ??x?100?0x
x?0.
0,x?0;10000 =
1??x?100?2,
x?0.
(2)
?10000P?X?200??1?P?X?200??1?F?200??1??1???200?100?2??1???9? 。
18. 设随机变量X的分布函数为
F?x??
0,1??1?x?e?x,
x?0x?0
求X的密度函数，并计算P?X?1?和P?X?2?。
解 由分布函数F?x?与密度函数f?x?的关系，可得在f?x?的一切连续点处有f?x??F??x?，因此
f?x??
xe0,?x,
?1x?0其他
?1所求概率P?X?1??F?1??1??1?1?e?1?2e；
P?X?2??1?P?X?2??1?F?2??1?1??1?2?e??2??3e?2。
1 。
20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从??的指数
5150?x5x?0分布，其密度函数为f?x??
e,
其他，某顾客在窗口等待服务，若超
