fX?x??
5,0,
0?x?0.2其他
由指数分布的定义知
fY?y??
5e0,?5y,
y?0其他
y 因为X与Y独立，易得?X,Y?的联合密度函数
f?x,y??fX?x?fY?y?? 25e0,?5y,
0?x?0.2,y?0其他
概率P?X?Y????f?x,y?dxdy，
G其中区域G???x,y?|x?y?见图5.3，经计算有
P?X?Y???0dx?025e0.2x?5y 0.2 x 图5.3
dy??051?e0.2??5x?dx?e?1。
12. 设二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为
f?x,y??
ke0,??3x?4y?,
x?0,y?0其他
X与Y相互独立。
????3x?4y?求：（1）系数k；（2）P?0?X????（3）证明?1,0?Y?2?；
??解 （1）k必须满足??????f?x,y?dxdy?1，即?0k?12；
??3x?4y?dy?0kedx?1，经计算得
（2）P?0?X?1,0?Y?2???0dy?012e21dx?1?e??3??1?e?；
?8（3）关于X的边缘密度函数
fX?x?????????3x?4y?x?012edy,?f?x,y?dy? 0
??0,3e0,?3x其他=
同理可求得Y的边缘密度函数为
fY?y?? ,
x?0其他
4e0,?4y,
x?0其他
X与Y相互独立。
易见f?x,y??fX?x?fY?y?,???x???,???y???，因此
13. 已知二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为
f?x,y??
k?1?x?y,0,
0?x?1,0?y?x其他
（1）求常数k；（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立？
解 （1）k满足??????f?x,y?dxdy?1，即?0dx?0k?1?x?ydy?1解得k?24； （2）X的边缘密度函数
fX?x???????x????1x0?x?124?1?x?ydy,f?x,y?dy? ?0
0,12x?1?x?,2其他=
Y的边缘密度函数为
fY?y??
0,
0?x?1其他
?y24?1?x?ydx,0,12y?1?y?,21
0?y?1其他
=
0,
0?y?1其他
（3）
111?11?f?,??24???243?24?，而
fX?x??12?14?12?32,fY?y??12?14?916?2716，
易见
?11??1??1?f?,??fX??fY??，因此?24??2??4?X与Y不相互独立。
14. 设随机变量X与Y的联合分布律为 X\\Y 0 1 0 1 2 且P?Y225a b 325225 ，（1） 求常数a,b的值；（2）当a,b取（1）中的值时，X与
125 ?1|X?0??35Y是否独立？为什么？
解 （1）a,b必须满足??pijj?1i?123?1，即
225?b?a?325?125?225?1，可推出
a?b?1725，另外由条件概率定义及已知的条件得
P?Y?1|X?0??P?X?0,Y?1?P?X?0??b225?b?35
由此解得b?a?325，结合a?b?1725可得到a?1425，
1425325即
b?
（2）当a?1425,b?325时，可求得P?X225?0??525,P?Y?0??1725，易见
P?X?0,Y?0???P?X?0?P?Y?0?
因此，X与Y不独立。
习题六
1. 设X的分布律为 X -2 -0.5 0 概率 182 164 13 14 18 （3）X?1；
2求出：以下随机变量的分布律。（2）?X
解 由X的分布律可列出下表 概率 X。
18 14 18 16 13 -2 -0.5 0 X?2 0 1.5 2 ?X?1 3 1.5 1 24 0.25 0 X 由此表可定出 （2）?X?1的分布律为 ?X?1 2 4 -1 4 4 6 -3 16 -3 13-1 161 183214 3 18概率 （3）X2的分布律为
X2 0 181414 4 72416 13概率 18?16?724其中P?X2?4?P?X?2??P?X??2???。
2. 设随机变量X服从参数??1的泊松分布，记随机变量Y? 求随机变量Y的分布律。
解 由于X服从参数??1的泊松分布，因此
P?X?k??1k0,若X?1;1,若X?1,试
k!e?1?e?1k!,k?0,1,2,?,
e?1而 P?Y?0??P?X?1??P?X?0??P?X?1???10!?e?11!?2e?1；
P?Y?1??P?X?1??1?P?X?1??1?2e。
即Y的分布律为 Y 0 概率 2e?11 ?1 1?2e 2x,0,3. 设X的密度函数为f?x?? （（3）X2。
0?x?1;其他, 求以下随机变量的密度函数：
解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果y?g?x?为单调可导函数，则也可利用性质求得（3）设Y由于X只取?0,1?中的值，所以
h?y??y,h??y??112yy?x2?X2，
也为单调函数，其反函数
，因此Y的密度函数为
112yfY?y??fX?h?y??h??y??
20,y?,
0?其他y?1
=
1,0,
0?其他y?1
5. 设随机变量X服从正态分布??0,1?，试求随机变量的函数Y?X2的密度函数fY?y?。
解 X~??0,1?，所以fX?x??12?e?2x2,???x???，此时y?x不为单调
2函数不能直接利用性质求出fY?y?。须先求Y的分布函数FY?y?。
FY?y??P?Y?y??PX?2?y?
?0P?yy?y?X?12?e?y2y?
y?0;y?0,
P??y?X?y???yy?fX?x?dx???e?2x2dx.
1fY?y??FY??y??
0,2?e?y212y?12?12y
,y?0;其他,
1 =
0,2?ye?y2,
y?0;其他.
9. 设二维随机变量?X,Y?的分布律 X\\Y １ ２ ３ １ 141818２ 14３ 18 ０ 18０ ０ 求以下随机变量的分布律：（１）X?Y；（２）X?Y；（３）2X；（４）XY。
解 概率 14 14 18 18 ０ ０ 18 18 ０ ?X,Y? X?Y?1,1? ?1,2? ３ -１ 2 ?1,3? ４ -2 3 ?2,1? ３ 1 2 ?2,2? ４ 0 4 ?2,3? ５ -1 6 ?3,1? ４ 2 3 ?3,2? ５ 1 6 ?3,3? ６ 0 9 ２ ０ X?Y 1 XY 从而得到 （1） ２ X?Y 概率 14３ 38４ 14５ 18 2 18（２） X?Y -２ 概率 18-1 140 141 14 （３）从联合分布律可求得Ｘ的边缘分布律为 Ｘ １ ２ ３
