155
互感。
b/2 b b I l I l
（a）
解：（1）图12-34（a）情况。
（b）
图12–34
设长直导线上有电流I，在矩形线圈面积上距直导线x处，取一宽为dx，长为l且与直导线平行的长条形面积元dS=ldx，如图12-35所示。该面积元上磁感应强度为
B?b b ?0I2πx，在导线右边平面内其方向垂直纸面向里，通过
I dS l
面积元的磁通量为
d??B?dS=BdS??0I2πxldx
则整个线圈上的磁通量为
??x ?d???b2b?0I2πxldx??0Il2πdx 图12–35
ln2
线圈与长直导线间的互感为
M??I?N?I?7??0Nl2πln2
b/2 ?4π?10?100?0.22πln2
=2.8?10–6H
（2）图12-34（b）情况。
设长直导线上有电流I，将矩形线圈视为许多宽为dx，长为l的长条形面积元dS组成，在两个关于长直导线对称的面积元上，磁感应强度大小相等，方向相反，因而这两个面积元的磁通量大小相等，符号相反，代数和为零，进而整个矩形面积的磁通量为零，如图12-26所示，因此线圈与长直导线间的互感也为零。 线密绕两个线圈，一个N1匝，另一个N2匝，试求：
（1）两个线圈的自感L1和L2； （2）两个线圈的互感M；
156
dx I l
dx 图12–36
12–28 一螺绕环，横截面的半径为a，中心线的半径为R，R>>a，其上由表面绝缘的导
（3）M与L1和L2的关系。
解：设在匝数为N1的螺绕环1中通以电流I1，在匝数为N2的螺绕环2中通以电流I2， （1）由于R>>a，环中B可视为均匀，线圈1中，电流I1产生的磁场为
B1??0n1I1??0N1I12πR
每匝的磁通量为
?11?B1?S?B1S??0N1I12πRπa2??0N1I1a2R2
线圈1的磁链
?NIa?11?N1?11?0112R22
因此线圈1的自感系数为
L1??11I1??0N1a2R22
同理，线圈2的自感系数为
L2??22I2??0N2a2R22
（2）螺绕环1中通以电流I1，它在螺绕环2中产生的磁通量为
?21?B1S??11??0N1I1a2R2
磁链为
?21?N2?21??0N1N2I1a2R2
因此互感系数为
M??21I1??0N1N2a2R2
，即耦合系数k=1，此两线圈为
?NNa（3）L1?L2?01224R2224?M2。因此，M?L1L2完全耦合。
12–29 未来可能会利用超导线圈中持续大电流建立的磁场来储存能量。要储存1KW?h的能量，利用1.0T的磁场，需要多大体积的磁场？若利用线圈中500A的电流储存上述能量，则该线圈的自感系数应为多大?
解：需要的磁场的体积为
V?Wmwm?2?0WmB2?2?4π?10?7?3.6?10612=9.0m3
所需线圈的自感系数为
L?2WmI2?2?3.6?1050026?29H
12–30 一长直的铜导线，截面半径为5.5mm，通有电流20A。求导线表面处的电场能量密度和磁场能量密度。铜的电阻率1.69?10–8??m。
157
解：铜导线表面处的磁感应强度
B??0I2πR
铜导线表面处的磁场能量密度
wm?B22?0??0I222?4π?102?7?2028πR8?π?(5.5?10?32=0.21J/m
3
)根据欧姆定律的微分形式，铜导线表面处的电场为
E?j???j??IπR2
式中?和?分别为铜的电导率和电阻率。
电场能量密度为
we?8.85?10?0E22?????2?πR2?I?82?0?2?2?0?I2πR2224
–17
3
?122??(1.69?10)?202?π?(5.5?10?34=5.6?10 J/m
)12–31 半径为R的圆柱形长直导体，均匀流过电流I，（1）求证：导体内单位长度储存的磁能为
?0I216π（设导体的相对磁导率?r?1）;（2）在导体外部磁场中，与导体内部磁能相
等的范围是多大？
解：由H的安培环路定理可得导体内、外的磁场强度分布。 当r I IπRH?Ir2πR22??lH?dl?H2πr?πr2 R r ,(r?R) l 当r>R时，有 ??lH?dl?H2πr?I H?I2πr,(r?R) O r dr 图12–37 由 wm?12?H2?122?0?rH R 当r ?Ir?wm??0?r?2?2?2πR?12??0?rIr8πR2422 当r>R时，在半径r处的磁能密度为 ?I????0?r?wm?2?2πr?12??0?rI8πr222 （1）在导体内取半径为r，长度为l，厚为dr与导体同轴的圆柱形薄壳，如图12-37所 158 示。薄壳处的磁能密度为wm??0?rIr8πR2422薄壳体积dV=2?rldr薄壳中的磁能为 ?0?rIlr4πR423dWm?wmdV?dr 单位长度导体内的总磁能为 Wm?1l?dWm1l?1l?wmdV??0?R?0?rIr4πR423dr??0?rI16π2??0I216π （2）同样，单位长度下，导体外部半径在R+r′范围内的磁能为 ??Wm1l???dWm??dV?wm21r??0?rIlR8π2r22πrldr??0?rI4π2lnr?R??0I4π2lnr?R 导体外部磁能与导体内部磁能相等，有 ?0I216π??0I4π2lnr?R 因此 r??Re14 dVdt12–32 （1）试证明平行板电容器两极板之间的位移电流可写为Id?C，其中C是 电容器的电容，V是两极板间的电势差。（2）要在1.0?F的电容器内产生1.0A的位移电流，加在电容器上的电压变化率应是多大？ 证明：（1）设平行板电容器极板上单位面积的带电量为?，则由高斯定理可计算出平行板电容器两极板间的电位移大小为 D?? 电容器平行于极板的截面上的电位移通量为 ?D?DS??S?q?CU 因此，电容器中的位移电流 Id?d?dt?CdVdt 得证。 （2）由（1）可知，加在电容器上的电压变化率应为 dVI1.0?d??6dtC1.0?10=1.0?106V/s 159
