P?E2R?vBlR222?4?0.50?0.500.202W=5.0W
计算表明，拉力所做的功全部转化为电路中的焦耳热。
12–18 如图12-17所示，长直导线中通有电流I=5A，另有一矩形线圈共1000匝，宽a=10cm，长l=20cm，以速度v=2m/s向右平动，（1）求当d=10cm时线圈中的感应电动势；（2）若线圈不动，而长导线中通有交变电流I=5sin100?t（A），则线圈内的感应电动势将为多大？
解：（1）方法一：用法拉第电磁感应定律E??d?dtA B
计算。
I l D C a 图12–17
v
线圈处于非均匀磁场中，当线圈运动到距长直导线x远处时，磁感应强度大小为
B??0I2πx
d 方向垂直纸面向里。
在线圈中取小面积元dS=ldx，如图12-18中阴影部分，取顺时针方向为矩形线圈回路的正方向，则面积元dS的方向也垂直纸面向里，由于dx足够小，可以近似认为该面积元内的B是均匀的，则该面积元的磁通量d?为
d??B?dS=BdS=A I a B v l ?0I2πxldx
O x D dx C x 通过线圈中的总磁通量为
?=?d???xa?x?0I2πxldx??0Il2πlna?xx
图12–18
即?为x的函数。
由法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势为
E??Nd?dt??0INl2πadxx(x?a)dt
因为x是t的函数，
dxdt?v，所以线圈中的感应电动势为
E??0INlav2πx(x?a)
由题设，当线圈左边离开导线的距离为x =d=10cm时，
E??0INlav2πx(x?a)?4π?10?7?5?1000?20?10?2?2?10?10?2?2?22π?10?10(10?10?2=2?10V
–3
?10?10)由于E>0，所以它的方向为顺时针方向，即ABCDA方向。 方法二：用动生电动势公式Ei??l(v?B)?dl，对矩形线圈的每一边求感应电动势，再
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利用
E???L(v?B)?dL??AB(v?B)?dl??BC(v?B)?dl??CD(v?B)?dl??DA(v?B)?dl
?EAB?EBC?ECD?EDA
进行计算。其等效电路如图12-19所示。
取绕行回路正方向为顺时针方向。对于矩形线圈上、下两边AB、CD，由于(v?B)与dl方向垂直，所以
EAB?ECD?A B
?A(v?B)?dl?0 ?CDB?DA ?BC
(v?B)?dl?0
D
C 图12–19
矩形线圈处于非均匀磁场中，距长直载流导线x远处的磁感应强度为
B??0I2πx
其方向垂直纸面向里。
EDA?EBC??DA(v?B1)?dl??0bv?0I2πddl?vl?0I2πd
?0I?BC(v?B2)?dl???0bv?0I2π(d?a)dl??vl2π(d?a)
每匝矩形线圈中的感应电势为
E?EAB?EBC?ECD?EDA?vl?2?0I2πd?vl?0I2π(d?a)?vl?0I?1?2π?d???d?a?1
?2?20?10?4π?10?72π??5?11 ???2?2?2?10?10?10?10?10?10?=2?10–6V
矩形线圈中总的动生电动势为
EN?NE?1000?2?10?6V=2?10V
–3
因为EN>0，所以它的方向沿顺时针方向，即ABCDA方向。
（2）若线圈不动，导线中电流变化，则穿过线圈的磁通量变化，产生感应电动势。 通过线圈的磁链为
??N???0INl2πlnd+ad
线圈中总的感应电动势为
E??d?dt?2???0Nl2?lnd+adIddt
?d(5sin100?t)? ?dt???4??10?7?1000?20?102??10?10?2?10?10?2ln??2?10?10??2??4.35?10cos100?tV
12–19 一单匝圆形线圈位于xoy平面内，其中心位于原点O，半径为a，电阻为R，平行与z轴有一匀强磁场，假设R极大，求：当磁场依照B=B0e-?t的关系降为零时，通过该线
149
圈的电流和电量。
解：根据法拉第电磁感应定律
E??d?mdt??S??t??t ??SB0????eB0e??dtd?πa?B0e2??tB z y a
O x 图12–20
电动势为正，说明它的方向与B构成右手螺旋关系。
线圈中的感应电流
i?ER?πa?B0??t eR2感应电流的方向亦与B构成右手螺旋关系。
在0~t 时间内，通过线圈某一截面的电量为
22πa?B0t??tπaB0??tq?idt?edt?1?e00RR?t????1R??m0??m?t????1R??m
当B降为零时，通过线圈截面的总电量为
πaB0?q?idt??m0
0RR??2可见，q仅与磁通量的变化值??m有关，而与变化过程无关，即与B(t)无关。
12–20 如图12-21所示，一长为l，质量为m的导体棒ab，其电阻为R，并沿两条平行的导电轨道无摩擦地下滑。轨道的电阻可忽略不计，轨道与导体构成一闭合回路。轨道所在平面与水平面成?角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度B的方向与水平垂直，且竖直向上。求证：导体棒下滑时，达到稳定速度的值是v?mgRsin?Blcos?222。
解：导体棒ab在重力作用下沿轨道下滑，这时通过闭合回路abcda的磁通量要随时间发生变化，于是在棒上就会产生动生电动势和感应电流，因此棒ab在磁场中又会受到安培力的作用。当安培力与重力在斜面上的分力大小相等，方向相反时，棒以匀速下滑。这时可得棒的速度，即为所证的值。
设导体棒ab速度为v。由于导体在磁场中运动产生的动生电动势为
E?bB b l v ? 图12–21
?l(v?B)?dl=?avBsin(2??)dl?vBlcos?
I?ER?vBlcos?Rπ
回路abcda中感应电流为
F B v 22流向由b?a。
通过导体棒ab的电流在磁场中受到安培力
F??lIdl?B?IlB?vBlcos?RlB?vBlcos?R
图12–22
由图12-22可判断出该力的方向水平向左。
如图12-23所示，F沿斜面的分量为
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F//?Fcos??vBlcos?R22cos??vBlcos?R222
b F// F B 导体棒ab所受重力为G=mg，其沿斜面的分量为
G//?mgsin?
? ? G I G// c
当此两力平衡时，即F//=G//时，速度达稳定值，由
vBlcos?R222?mgsin?
? d 得
v?mgRsin?Blcos?222图12–23
12–21 如图12-24所示，在半径为R的圆柱形空间有垂直于纸面向内的变化的均匀磁场B（
dBdt?0），金属棒ab=bc=R，求金属棒ac上的感应电动势。
解：（1）方法一：由感生电动势公式求解。 由磁场分布的轴对称性可知，磁场变化时在圆柱体所产生的感应电场Ek的电场线是以圆柱轴线上的某点为圆心的同心圆，且同一圆环上各点Ek的大小相等，方向逆时针，如图12-25所示。以圆柱轴线为中心，在垂直于圆柱轴线的平面内，作一半径为r的圆形闭合路径，回路的绕行方向为逆时针，由感生电动势定义式可知，
E?O R a b 图12–24
c ??lEk?dl????SdBdt?dS
