第十二章 电磁感应及电磁场基本方程习题解(4)

Ek 当r

r r (r?R)2dB当r>R时，Ek22πr?πREk2?R2dt

Ek O a dB R 2rdt,(r?R)

由于金属棒ac所在区域与bc所在区域的Ek

表达式不同，所以要分段积分，故

Eac?cbc b 图12–25

c ?aEk?dl??aEk1?dl??bEk2?dl?Eab?Ebc?

如图12-26所示，对ab段，Ek的方向为逆时针，取线元dl，dl与Ek夹角为?，dl到管轴的距离为r，将几何关系h=rcos?=Rcos30代入积分，可得

Eab?bb?aEk1?dl??aEk1cos?dl

??a2brdBdtcos?dl=1dB2dt?arcos?dl

b 151

?1dB2dthdB2dt?abhdl?12hdB2dt?adl

dBdtRb?R?Rcos30?2

O h a ?1 Ek ?3R4dBdt

? 对bc段，有

Ebc??2 b l r ? dl c ?bcEk2?dl??bEk2cos?dl

R2c??bcR2dB2rdtcos?dl=dB2dt2

?bccos?图12–26

dl hr

，r?hcos?r利用关系l=htan?，dl=hsec?d?和cos???1??6将上述积分统一变量，并注意到

，?2??3，代入上式有

R2Ebc?dB2dt?bccos?rdl?R2dB?22dt?1?cos?cos?hhsec?d??2πR2dBdt12

因此，整个金属棒ac上的感生电动势为

?3π?2dBEac?Eab?Ebc???R ??4?12dt??方向由a?c，即c端电势高。

方法二：由法拉第电磁感应定律求解。

由磁场分布的轴对称性可知，磁场变化时在圆柱体所产生的感应电场的电场线是以圆柱轴线上的某点为圆心的同心圆，且同一圆上各点Ek的大小相等，方向逆时针，沿某点的切向方向。如图12-27所示，连接Oa，Ob，按电动势的定义，在闭合回路OabcdO中的电动势为

EOabcdO???lEk?dl

??acEk?dl??cOEk?dl??OEk?dl

a aO 60? 30? R b 图12–27

d R c ?Eac?EcO?EOa

其中Oa，Oc均沿半径方向，与感生电场Ek的方向始终垂直，所以

EcO?EOa?Oa?cEk?dl??OEk?dl?0

??l?则该回路的感应电动势等于金属棒ac上的感应电动势，即

EOabcdO?Ek?dl??aEk?dl?Eac

dBdtS?dBdt(SOab?SObd)c由法拉第电磁感应定律回路的感应电动势大小为

EOabcdO?Eac??d?dt??SdBdt?dS? 152

?dB?112π??3π?2dB RRcos30??R??R?????dt?226??412dt??方向由a?c，即c端电势高。

12–22 一无限长直导线，通有电流I，在它旁边放有一共平面的矩形金属框，边长分别为a和b，电阻为R，如图12-28所示。当线圈绕OO′轴转过180?时，试求流过线框截面的感应电量。

解：由法拉第电磁感应定律，感应电动势为

E??d?dtO

b I

回路中感应电流为

i?ER??1d?Rdt

d O′ a 1R通过回路的感应电量为

q??idt???1d?Rdtdt??R??11?2d??(?1??2)

2a?2图12–28

?1???SB?dS???SBdS??dd?a?0I2πrbdr??0Ib2πln2d?a2d?a

当线圈绕OO′轴转过180?，

?2???0Ib2πln2d?a2d?a

因此，有

q?1R(?1??2)??0IbπRln2d?a2d?a

12–23 半径为2.0cm的螺线管，长30.0cm，上面均匀密绕1200匝线圈，线圈内为空气。 （1）求此螺线管的自感系数。

（2）当螺线管中电流以3.0?102A/s的速率增加时，在线圈中产生的自感电动势多大？ 解：（1）当通以电流I时，线圈内磁感强度为

B??0nI??0NlI

通过螺线管的磁链为

??N??NBS?N?0NlIS??0Nl2IS

该螺线管的自感系数为

L??I??0NSl2??0NπRl22?4π?10?7?1200?π?0.020.322=7.6?10–3H

（2）由自感电动势定义得

EL??LdIdt??7.6?10?3?3.0?102= ?2.3V

负号表示自感电动势的方向与电流的方向相反。

12–24 如图12-29所示，两条平行的输电线半径为a，二者中心相距为D，电流一去一

153

回。若忽略导线内的磁场，求证这两条输电线单位长度的自感L?

?0πlnD?aa。

I

a I

I

I dS=ldx l D x dx D 图12–29

图12–30

x

证明：在两输电线之间取一面元dS=ldx，如图12-30所示，则面元上任一点的磁感应强度为

B?B1?B2??0I2?x??0I2?(D?x)

?0I??I?d??B?dS=BdS??0??ldx

2πx2π(D?x)??通过长为l的两输电线间的面积的磁通量为

???d???aD?a??I0?0I?0IlD?a? ?ln??ldx?2πx2π(D?x)πa??故单位长度的输电线的自感为

L??Il??0πlnD?aa

由此得证。

12–25 如图12-31所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S1和S2，磁导率分别为?1和?2，管长为l，匝数为N，求螺线管的自感（设管的截面很小）。

解：设有电流I通过螺线管，则管中两介质中磁感强度分别为

B1??1nI??1B2??2nI??2NlNlI

N

?1, S1 ?2, S2

I通过线圈横截面的总磁通量是截面积分别为S1和S2的两部分磁通量之和

???1??2?B1S1?B2S2??1NlIS1??2NlIS2l

图12–31

通过螺线管的N匝回路的磁链为

??N??N(?1NlIS1??2NlIS2)??1NIS1l2?NIS2 ?2l2则自感为

154

L??I??1NS1l2?NS2 ?2l212–26 如图12-32所示，真空中一矩形截面螺绕环由细导线均匀密绕而成，内半径为R1，外半径为R2，高为h，共N匝，如图所示。求此螺绕环的自感系数。

O O

O′ O′ R1 R1

R2 R2

dr h r h

图12–32 图12–33

解：（1）当螺绕环通有电流I时，由于螺绕环具有轴对称性，在环内取以环中心为圆心，半径为r的圆形回路，圆周上各点B相等，由安培环路定理有

??lB?dl??0NI

B2πr??0NI

则圆上各点的磁感应强度为

B??0NI2πr

在螺绕环的纵截面上距轴线r处取一宽为dr，长为h，与轴平行的面积元ds=hdr，如图12-33所示，则穿过面积元的磁通量为

d??B?dS=BdS??0NI2πrhdr

整个截面上磁通量为

???d???R1R2?0NI2πrhdr??0NIh2πlnR2R1

螺绕环的磁链

??N??N?0NIh2πlnR2R1??0NIh2π2lnR2R1

因此螺绕环的自感系数为

L??I??0Nh2π2lnR2R1

12–27 一矩形线圈长l=20cm，宽b=10cm，由100匝表面绝缘的导线绕成，放置在一根长直导线的旁边，并和直导线在同一平面内，该直导线是一个闭合回路的一部分，其余部离线圈很远，其影响可忽略不计。求图12-34中（a）（b）两种情况下，线圈与长直导线间的