（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值． 考二次函数综合题。 点： 分（1）当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：y=，析：
利用待定系数法即可求得答案；
（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0，又由二次
函数y=k（x+x﹣1）的对称轴为x=﹣，可得x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大；
（3）由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直
2
2
角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q（﹣，k），A（1，k），即可得
=
，继而求得答案．
解解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2）， 答： ∵A在反比例函数图象上，
∴设反比例函数的解析式为：y=， 代入A（1，﹣2）得：﹣2=， 解得：m=﹣2，
∴反比例函数的解析式为：y=﹣；
（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大， ∴k＜0，
∵二次函数y=k（x+x﹣1）=k（x+）﹣k，的对称轴为：直线x=﹣， 要使二次函数y=k（x+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，
即x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大， ∴综上所述，k＜0且x＜﹣；
（3）由（2）可得：Q（﹣，k），
∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）
∴原点O平分AB， ∴OQ=OA=OB，
作AD⊥OC，QC⊥OC， ∴OQ=∵OA=∴解得：k=±
=． ==
，
，
，
22
2
点此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识．此评： 题综合性较强，难度较大，注意掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想
的应用． 23．（2012?杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2． （1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（
是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，
使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能
在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
考点： 专题： 分析：
切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质。 计算题。
（1）由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE与CE垂直，又OB与AT垂直，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等，由∠A的度数即可求出所求角的度数；
（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE
的长，再由OB垂直于MN，由垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在直角三角形OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OE﹣OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值；
（3）把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有6个，如图所示，每小图2个，顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D，连接DF，由第二问求出半径，的长直径ED的长，根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD为直角三角形，由∠FDE为30°，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出三角形EFD的周长，再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比． 解解：（1）∵AE切⊙O于点E， 答： ∴AE⊥CE，又OB⊥AT，
∴∠AEC=∠CBO=90°， 又∠BCO=∠ACE，
∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°， ∴∠COB=∠A=30°；
（2）∵AE=3
，∠A=30°，
，即EC=AEtan30°=3，
，
∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=
∵OB⊥MN，∴B为MN的中点，又MN=2∴MB=MN=
，
，
连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=
∴OB==， 在△COB中，∠BOC=30°， ∵cos∠BOC=cos30°=∴BO=∴OC=
OC， OB=
，
=
，
又OC+EC=OM=R， ∴R=
2
+3，
整理得：R+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0， 解得：R=﹣23（舍去）或R=5， 则R=5；
（3）在EF同一侧，△COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个，
如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：
延长EO交圆O于点D，连接DF，如图所示， ∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°， ∴FD=5， 则C△EFD=5+10+5=15+5， 由（2）可得C△COB=3+， ∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1． 点此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30°评： 直角三角形的性质，平移及旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及
性质是解本题的关键．
