（2）如图一，
∵AB⊥OC，即∠BOC=90°， ∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°， ∴四边形PMON是矩形， ∴MN=OP=2，
∴MN的长为定值，该定值为2；
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（3）①如图二， ∵P1是
的中点，∠BOC=120°
∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°． ∵P1M⊥OC，P1N⊥OB， ∴P1M=P1N，
∴△P1MN是等边三角形， ∴MN=P1M．
∵P1M=OP1?sin∠MOP1=2×sin60°=∴MN=
；
，
②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长， 交⊙O′于点Q，连接QM，如图三， 则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°， 在Rt△QMN中，sin∠MQN=∴MN=QN?sin∠MQN，
∴MN=OP?sin∠MQN=2×sin60°=2×∴MN是定值．
（4）由（3）②得MN=OP?sin∠MQN=2sin∠MQN．
当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．
=
，
，
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点评：本题主要考查了圆内接四边形的判定定理、圆周角定理、在同圆中弧与圆心角的关系、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数、角平分线的性质等知识，推出MN=OP?sin∠MQN是解决本题的关键．
跟踪检测：
1. （2015?永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（ ） A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1
C．[x+y]≤[x]+[y] D．[n+x]=n+[x]（n为整数）
2. （2015?四川遂宁第21题9分）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问
题． 计算：（1﹣令
11111111111111﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣-）×（++）． 23423452345234111++=t，则 23411原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t
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﹣t﹣t﹣t+t 5551= 5=t+问题： （1）计算 （1﹣﹣
1111111﹣﹣…﹣）×（+++…+2342345111﹣）×（++…+）；
2342
2
+）﹣（1﹣
1111﹣﹣-…2345（2）解方程（x+5x+1）（x+5x+7）=7．
3. (2015·黑龙江绥化，第26题 分)自学下面材料后，解答问题。
x-22x?3＞0 ； ＜0x?1x-1分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如：等 。那么如何求出它
们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字母表达式为：
aa （1）若a＞0 ，b＞0 ，则b＞0；若a＜0 ，b＜0，则b＞0； aa （2）若a＞0 ，b＜0 ，则b＜0 ；若a＜0，b＞0 ，则b＜0。
?a＞0?a＜0a或??b＞0?b＜0 反之：（1）若b＞0则?a （2）若b＜0 ，则__________或_____________． x?2＞0x?1 根据上述规律，求不等式 的解集。
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4. （2015?山东日照 ，第21题12分）阅读资料：
如图1，在平面之间坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB=
AB=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|，所以A，B两点间的距离为
．21教育名师原创作品
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我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xoy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA=|x﹣0|+|y﹣0|，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x+y=r．
问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为 ． 综合应用：
如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB． ①证明AB是⊙P的切点；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程；若不存在，说明理由．21·世纪*教育网
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