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2
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的图象上，则关于x的方程px+3x+q=0的倍根方程； x2
④若方程ax+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax+bx+c上，则方程ax+bx+c=0的一个根为
2
5． 4考点： 根与系数的关系；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．. 专题： 新定义．
分析： ①解方程x﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，得到方程x﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；②由（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣
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2
2
2
nnn，得到=﹣1，或=﹣4，mmm∴m+n=0于是得到4m+5mn+n=（4m+1）（m+n）=0，故②正确；③由点（p，q）在反比例函数y=
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的图象上，得到pq=2，解方程px+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，故∴③正确；④由xpp2
方程ax+bx+c=0是倍根方程，得到x1=2x2，由相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax+bx+c上，∴ 得到抛物线的对称轴x=
2
2
==
55，于是求出x1=，故④错误． 23解答：①解方程x﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1， ∴方程x﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误； ②∵（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣∴
2
n， mnn=﹣1，或=﹣4， mm∴m+n=0，4m+n=0，
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∵4m+5mn+n=（4m+n）（m+n）=0，故②正确； ③∵点（p，q）在反比例函数y=的图象上， ∴pq=2，
解方程px+3x+q=0得：x1=﹣∴x2=2x1，故③正确；
④∵方程ax+bx+c=0是倍根方程， ∴设x1=2x2，
∵相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax+bx+c上， ∴抛物线的对称轴x=∴x1+x2=5， ∴x1+2x1=5， ∴x1=
=
=
2
22
22
12，x2=﹣， pp5， 25，故④错误． 3故答案为：②③．
点评： 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
类型3：新概念阅读型
首先要先读懂题中情形，从而根据相关的知识解决问题，再灵活运用所学过的有关知识点进行点拨解题。
【例题】(2015·南宁，第12题3分)对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，
b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程
（ ）. 21*cnjy*com
Max?x,?x??2x?1x的解为
（A）1?2 （B）2?2 （C）1?2或1?2 （D）1?2或?1 考点：解分式方程．. 专题：新定义．
分析：根据x与﹣x的大小关系，取x与﹣x中的最大值化简所求方程，求出解即可．
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解答：当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形得：﹣x=去分母得：x+2x+1=0，即x=﹣1；
当x＞﹣x，即x＞0时，所求方程变形得：x=解得：x=1+
或x=1﹣
（舍去）， 都为分式方程的解．
2
，
，即x﹣2x=1，
2
经检验x=﹣1与x=1+故选D．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【变式练习】
（2015?浙江嘉兴，第24题14分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”. （1）概念理解
如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件. （2）问题探究
①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理
由。
②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿
∠ABC的平分线BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，连结AA＇，BC＇.小红要是平移后的四边形ABC＇A＇是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB＇的长）？ （3）应用拓展
如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD为对角线，
AC=AB.试探究BC，CD，BD的数量关系.
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考点：四边形综合题．.
分析：（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；
（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；
②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；
（3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，
，
FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，
利用勾股定理，等量代换得出结论．
解答：解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）； （2）①正确，理由为：[来^源&#:中教%~网]
∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形， ∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等， ∴这个“等邻边四边形”是菱形； ②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1， ∴AC=
，
∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，
∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2； （II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=（III）当A′C′=BC′=
时，
；
，
如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB， ∵BB′平分∠ABC，
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∴∠ABB′=∠ABC=45°， ∴∠BB′D=′∠ABB′=45°， ∴B′D=B， 设B′D=BD=x， 则C′D=x+1，BB′=
