x，
2
2
2
∵在Rt△BC′D中，BD+（C′D）=（BC′） ∴x+（x+1）=（
2
2
），
2
解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去）， ∴BB′=
x=，
（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，
与（Ⅲ）方法一同理可得：BD+（C′D）=（BC′）， 设B′D=BD=x， 则x+（x+1）=2，
2
2
2
2
2
2
解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），
∴BB′=x=；
2
2
2
（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC+CD=2BD，如图5， ∵AB=AD，
∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF， ∴△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD， ∴∠BAD=∠CAF，∴△ACF∽△ABD， ∴
=
=
，∴
=
=1，
BD，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°， ∴∠ABC+∠ABF=270°，
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∴∠CBF=90°， ∴BC+FB﹣CF=（∴BC+CD=2BD．
2
2
2
2
2
2
BD）2=2BD2，
点评：本题主要考查了对新定义的理解，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的性质等，理解新定义，分类讨论是解答此题的关键．21cnjy.com
类型4：纠错补全型
对解题过程的阅读，一定要带有批判型的眼光去审查每一步，并且一定要克服自己的思维定势，应把问题想的更宽更深些，这样存在的问题才能被挖掘出来。
【例题】（2015?四川凉山州第24题8分）阅读理解
材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：
梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半． 如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC ∵E、F是AB、CD的中点 ∴EF∥AD∥BC EF=（AD+BC）
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材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 如图（2）：在△ABC中： ∵E是AB的中点，EF∥BC ∴F是AC的中点
请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．
如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30° （1）求证：EF=AC； （2）若OD=3
，OC=5，求MN的长．
考点： 四边形综合题．.
分析： （1）由直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，可得OA=AD，OC=BC，即可证明；
（2）直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，得出OA=3，利用平行线得出ON=MN，再根据AN=AC=4，得出ON=4﹣3=1，进而得出MN的值． 解答： （1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADO=∠DBC=30°，
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC， ∴AC=OA+OC=（AD+BC）， ∵EF=（AD+BC）， ∴AC=EF；
（2）解：∵AD∥BC， ∴∠ADO=∠DBC=30°，
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC， ∵OD=3
，OC=5，
∴OA=3，
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∵AD∥EF，
∴∠ADO=∠OMN=30°， ∴ON=MN，
∵AN=AC=（OA+OC）=4， ∴ON=AN﹣OA=4﹣3=1， ∴MN=2ON=2．
点评： 此题主要考查四边形的综合题，关键是根据梯形中位线的性质和直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半进行分析．
【变式练习】
（2015?永州，第27题10分）问题探究： （一）新知学习：
圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）． （二）问题解决：
已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是线，垂足分别为N，M． （1）若直径AB⊥CD，对于
上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON
上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂
内接于圆，并求此圆直径的长；
（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；
（3）若直径AB与CD相交成120°角． ①当点P运动到
的中点P1时（如图二），求MN的长；
②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值． （4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．
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考点：圆的阅读解题． 专题：探究型．
分析：（1）如图一，易证∠PMO+∠PNO=180°，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2； （2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；
（3）①如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°．根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到△P1MN是等边三角形，则有MN=P1M．然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中运用三角函数可得：MN=QN?sin∠MQN，从而可得MN=OP?sin∠MQN，由此即可解决问题；
（4）由（3）②中已得结论MN=OP?sin∠MQN可知，当∠MQN=90°时，MN最大，问题得以解决．
解答：（1）如图一， ∵PM⊥OC，PN⊥OB， ∴∠PMO=∠PNO=90°， ∴∠PMO+∠PNO=180°，
∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2；
