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9积分中值定理：若f(x)连续x??a,b?,则：必存在一点???a,b?,使?f(x)dx?f(?)?(b?a)a
（二）定积分的计算： 1. 换元积分
b
设f(x)连续，x?[a,b]，x??(t) 若??(t)连续，t???,??,
且当t从?变到?时，?(t)单调地从a变到b, ?(?)?a,?(?)?b,
???则：f(x)dx?f?(t)??(t)dt
??
ab??
2.
分部积分
3.
?baudv?u?va??vdu
a广义积分
bb
4.
?????f(x)dx??x0??f(x)dx????0f(x)dx
定积分的导数公式
?1（f(t)dt)?f(x)x?
a2[?
?(x)af(t)dt]?x?f??(x)????(x)
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3[??2(x)?1(x)?(x)?f??1(x)???1?(x)f(t)dt]?x?f??2(x)???2x?b,(a?b)
(三)定积分的应用
1. 平面图形的面积:
1由y?f(x)?0,x?a, 与x轴所围成的图形的面积 y f(x)
s??f(x)dx
ab
2由y1?f(x),y2?g(x),(f?g) 与x?a,x?b所围成的图形的面积
s???f(x)?g(x)?dxab
3由x1??(y),x2??(y),(???)
与y?c,y?d所围成的图形的面积
s????(y)??(y)?dycd
4.求平面图形面积的步骤：
①. ②. ③. 2.
求出曲线的交点，画出草图；
确定积分变量，由交点确定积分上下限； 应用公式写出积分式，并进行计算。 旋转体的体积
?1曲线y?f(x)?0,与x?a,x?b及x轴所围图形绕x轴旋转所
得旋转体的体积：
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完美WORD格式 V??f(x)dxx? a 0 a b x b22由曲线x??(y)?0,与y?c,y?d及y轴所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积：
Vy????(y)dy
cd2第四章 多元函数微积分初步 §4.1 偏导数与全微分 一. 主要内容： ㈠. 多元函数的概念
3. 二元函数的定义：
z?f(x,y)(x,y)?D
定义域：D(f)
4. 二元函数的几何意义： 二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线） ㈡. 二元函数的极限和连续：
1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件：
1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。
?（点(x0,y0)可除外 ）x?x0y?y0
2limf(x,y)?A则称z?f(x,y)在(x0,y0)极限存在，且等于A。
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2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件：
1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。
?2limf(x,y)?f(x0,y0)x?x0y?y0
?则称z?f(x,y)在(x0,y0)处连续。
㈢.偏导数：
定义:f(x,y),在(x0,y0)点
f(x0??x,y0)?f(x0,y0)fx?(x0,y0)?lim ?x?0?xf(x0,y0??y)?f(x0,y0)fy?(x0,y0)?lim?y?0 ?yfx?(x0,y0),fy?(x0,y0)分别为函数f(x,y)在(x0,y0)处对x,y的偏导数。
z?f(x,y)在D内任意点(x,y)处的偏导数记为：
?f(x,y)?zfx?(x,y)???z?x
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?f(x,y)?zfy?(x,y)???z?y ?y?y㈣.全微分：
1.定义：z=f(x,y)
若?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)
?A?x?B?y?o(?)
其中，A、B与?x、?y无关，o（?）是比
???x??y较高阶的无穷小 量。22
则:dz?df(x,y)?A?x?B?y
是z?f(x,y) 在点(x,y)处的全微分。
3.
全微分与偏导数的关系
?(x,y),fy?(x,y)连续，定理：若fx(x,y)?D.
则：z?f(x,y)在点(x,y)处可微且
?(x,y)dx?fy?(x,y)dy dz?fx
㈤.复全函数的偏导数：
1.
设：z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y)
?z?f?u(x,y),v(x,y)?
?z?z?u?z?v则：?????x?u?x?v?x
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