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x?xx0，都有： 0若对于的某个邻域内的任意点
f(x0)?f(x)[或f(x0)?f(x)]
则称
f(x0)是f(x)的一个极大值（或极小值）
，
xf(x)0称为的极大值点（或极小值点）。
⑵极值存在的必要条件：
定理：
1.f(x)存在极值f(x0)???f(x0)?002.f?(x0)存在。?0
x00称为
f(x)的驻点
⑶极值存在的充分条件： 定理一：
1.f(x)在x0处连续；?f(x0)是极值；?02.f?(x0)?0或f?(x0)不存在；??x0是极值点。0?3.f?(x)过x0时变号。?
当
x渐增通过
x0时，
f(x)由（+）变（-）
；
则
f(x0)为极大值；
当
xxf(x)f(x)00渐增通过时，由（-）变（+）；则为极小值。
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定理二：
f(x0)是极值；1.f?(x0)?0；???0x0是极值点。2.f??(x0)存在。?
0 若
f??(x0)?0，则f(x0)为极大值； f??(x0)?0，则f(x0)为极小值。
若
☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。
4．曲线的凹向及拐点：
⑴若
f??(x)?0,x??a,b?；则f(x)在(a,b)内是上凹的（或凹的）
，（∪）；
f??(x)?0,x??a,b?；则f(x)在(a,b)内是下凹的（或凸的），（∩）；
0⑵若
⑶
?x0,f(x0)?称1.f??(x0)?0，???02.f??(x)过x0时变号。?为f(x)的拐点。
5。曲线的渐近线：
⑴水平渐近线：
若limf(x)?A?y?A是f(x)?x?????或limf(x)?A?的水平渐近线。x????
⑵铅直渐近线：
若lim?f(x)???x?C是f(x)?x?C??或lim?f(x)???的铅直渐近线。x?C?
第三章 一元函数积分学
§3.1 不定积分 一、主要内容
㈠重要的概念及性质：
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1．原函数：设：
f(x),F(x),x?D
若：
F?(x)?f(x)
F(x)是f(x)的一个原函数，
则称
并称
F(x)?C是f(x)的所有原函数,
其中C是任意常数。
2．不定积分：
函数
f(x)的所有原函数的全体，
f(x)的不定积分；记作：
称为函数
?f(x)dx?F(x)?Cf(x)称为被积函数； f(x)dx称为被积表达式；
其中：
x
称为积分变量。
3. 不定积分的性质：
⑴
或：
??f(x)dx??f(x)d??f(x)dx??f(x)dx?
⑵
或：
?f?(x)dx?f(x)?C?df(x)?f(x)?C
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⑶
?[f(x)?f(x)???f(x)]dx??f(x)dx??f(x)dx????f12n
12n(x)dx
—分项积分法
⑷
?kf(x)dx?k?f(x)dxf[?(x)]??(x)dx?? (k为非零常数)
4.基本积分公式：
㈡换元积分法： ⒈第一换元法：（又称“凑微元”法）
?凑微元?f[?(x)]d?(x)
令t??(x)???f(t)dt?F(t)?CF[?(x)]?C
回代t??(x) 常用的凑微元函数有：
?? 1o
11dx?d(ax)?d(ax?b)(a,b为常数，a?0)
aa 2o
11m?1m?1xdx?dx?d(ax?b) m?1a(m?1)m
（m为常数）
1xedx?d(e)?d(ae?b)
axx 3o
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1xadx?d(a),(a?0,a?1)
lnax 4o
1dx?d(lnx)
x 5o
sindx??d(cosx)cosxdx?d(sinx) secxdx?d(taxn)cscxdx??d(coxt)
11?x222
6
o
dx?d(arcsinx)??d(arccosx)
1dx?d(arctxa)n??d(arcotx)2
1?x 2.第二换元法：
?f(x)dx??令x??(t)???f[?(t)]d?(t)
????(t)f[?(t)]dx?F(t)?C
F[?(x)]?C
?1
反代t???1(x) 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，
其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换：
1o
x?t,n为偶数时,t?0
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