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1. 函数在
x0处连续：f(x)在x0的邻域内有定义，
?x?0 1
o
?x?0lim?y?lim[f(x0??x)?f(x0)]?0
2
o
x?x0limf(x)?f(x0)
x?x0 左连续：
limf(x)?f(x0)?
limf(x)?f(x)0? 右连续：
x?x0
2. 函数在
x0处连续的必要条件：
定理：
f(x)在x0处连续?f(x)在x0处极限存在
x0处连续的充要条件：
x?x0x?x03. 函数在
limf(x)?f(x)?limf(x)?limf(x)?f(x)00?? 定理：
x?x04. 函数在
?a,b?f(x)?a,b?在
上连续：
上每一点都连续。
在端点
x?ax?ba和b连续是指： limf(x)?f(a)? 左端点右连续；
limf(x)?f(b) 右端点左连续。
?
a+ 0 b- x 5. 函数的间断点：
若
f(x)在x0处不连续，则x0为f(x)的间断点。
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间断点有三种情况：
1o
)x(fx0在
处无定义；
2
o
x?x0limf(x)不存在；
3
o
)x(fx0在
处有定义，且
x?x0limf(x)。
存在，
但
x?x0limf(x)?f(x0) 两类间断点的判断： 1o第一类间断点：
特点：
x?x0limf(x)limf(x)??和
x?x0都存在。
可去间断点：
x?x0limf(x)存在，但
x?x0limf(x)?f(x0)，或
)x(f在
x0处无定义。
2o第二类间断点：
特点：
x?x0limf(x)limf(x)??和
x?x0至少有一个为∞，
或
x?x0limf(x)振荡不存在。
无穷间断点：
x?x0limf(x)limf(x)??和
x?x0至少有一个为∞
㈡函数在
x0处连续的性质
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1. 连续函数的四则运算：
设
x?x0limf(x)?f(x0)limg(x)?g(x0)，
x?x0
1
o
x?x0lim[f(x)?g(x)]?f(x0)?g(x0)
2
o
x?x0lim[f(x)?g(x)]?f(x0)?g(x0)
3o 2.
f(x)f(x0)lim?x?x0g(x)g(x0)复合函数的连续性：
??limg(x)?0??x??x0?
y?f(u),u??(x),y?f[?(x)]
x?x0
lim?(x)??(x0),x?x0u??(x0)limf(u)?f[?(x0)]
则：3.
limf[?(x)]?f[lim?(x)]?f[?(x0)]x?x0反函数的连续性：
y?f(x),x?f(x),y0?f(x0)?1x?x0y?y0?1
limf(x)?f(x0)?limf(y)?f(y0)[a,b]上连续的性质
?1
㈢函数在
1.最大值与最小值定理：
f(x)在[a,b]上连续?f(x)在[a,b]上一定存在最大值与最小值。
y y
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f(x) f(x) 0 a b x m
-M 0 a b x
2. 有界定理：
f(x)在[a,b]上连续?f(x)在[a,b]上一定有界。 f(x)在[a,b]上连续?在(a,b)内至少存在一点
3.介值定理：
?，使得：f(?)?c，
其中：
m?c?M
y y
M f(x) C f(x)
0 a ξ b x
m
0 a ξ1 ξ2 b x
推论：
f(x)[a,b]在
上连续，且
f(a)与f(b)异号
?在
(a,b)内至少存在一点?，使得：f(?)?0。
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4.初等函数的连续性：
初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念
1．导数：
y?f(x)在x0的某个邻域内有定义，
f(x0??x)?f(x0)?ylim?lim ?x?0
?x?x?0?xf(x)?f(x0)?lim x?x0x?x0dyy?x?x0?f?(x0)?dxx?x0
2．左导数：
f(x)?f(x0)f??(x0)?lim? x?x0x?x0f(x)?f(x0)f??(x0)?lim? x?x0x?x0
右导数：
定理：
f(x)在x0的左（或右）邻域上连续在
其内可导，且极限存在；
则：
?f??(x0)?limf(x)?x?x0
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