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（或：
?f??(x0)?limf(x)?）
x?x03.函数可导的必要条件：
定理：
f(x)在x0处可导?f(x)在x0处连续
4. 函数可导的充要条件：
定理：
y?x?x0?f?(x0)存在?f??(x0)?f??(x0)，
且存在。
5.导函数：
y??f?(x), x?(a,b)
?y
f(x)在(a,b)内处处可导。 y f?(x0) f(x) 6.导数的几何性质：
f?(x0)
是曲线
y?f(x)上点 ?x
0
M?x0,y0?处切线的斜率。 o x x ㈡求导法则
1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o 2o
（u?v)??u??v?
（u?v)??u??v?u?v?
u??v?u?v??u????2 3 v?v?o
?
(v?0)
3.复合函数的导数：
y?f(u),u??(x),y?f[?(x)]
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dydydu????? ，或 {f[?(x)]}?f[?(x)]??(x) dxdudx{f[?(x)]}?与f?[?(x)]的区别：
☆注意
{f[?(x)]}?表示复合函数对自变量x求导；
f?[?(x)]表示复合函数对中间变量?(x)求导。
f??(x),f???(x),或f(n?1)(3)4.高阶导数：
(x)
f(n)(x)?[f(x)]?,(n?2,3,4?)
函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分：
f(x)在x的某个邻域内有定义，
?y?A(x)??x?o(?x)
其中：
A(x)与?x无关，o(?x)是比?x较高
o(?x)lim?0 阶的无穷小量，即：?x?0
?x 则称y?f(x)在x处可微，记作：
dy?A(x)?x
dy?A(x)dx (?x?0)
f(x)
在
2.导数与微分的等价关系：
定理：
x处可微?f(x)在x处可导，
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且：
3.微分形式不变性：
f?(x)?A(x)
dy?f?(u)dudy都具有相同的形式。
不论u是自变量，还是中间变量，函数的
微分
§2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理
1.罗尔定理:
f(x)满足条件:
1在[a,b]上连续?；在(a,b)内至少?2在(a,b)内可导;??存在一点?,0 ?3.f(a)?f(b).?使得f?(?)?0. y f?(?) f?(?) f(x) f(x)
a o ξ b x a o ξ b x
0.0. 2.拉格朗日定理：f(x)满足条件:
在(a,b)内至少存0?，1在[a,b]上连续?在一点?，使得：?02在(a,b)内可导?；f(b)?f(a)f?(?)?b?a
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0㈡罗必塔法则：（,0定理：
?? 型未定式）
f(x)和g(x)满足条件：
limx?af(x)?0(或?）1o
limx?ag(x)?0(或?）；
2o在点a的某个邻域内可导，且
g?(x)?0；
x?limf?(x)a(?)g?(x)?A,（或?）3o
limf(x)f?(?)g(x)?x?limx)a(?)g?(x)?A,（或?） 则：x?a( ☆注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o若不满足法则的条件，不能使用法则。
0? 即不是
0型或
?型时，不可求导。
3o应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。
4o若
f?(x)和g?(x)还满足法则的条件，
可以继续使用法则，即：
f(x)f?x?lim(x)f??(x)a(?)g(x)?x?lima(?)g?(x)?x?lima(?)g??(x)?A 专业 知识分享
?）（或完美WORD格式
5o若函数是
0??,???型可采用代数变
?或?型；若是
0 形，化成
01,0,??或?型。
?00型可
0 采用对数或指数变形，化成
0
㈢导数的应用
1． 切线方程和法线方程：
设：
y?f(x),M(x0,y0)
切线方程：
y?y0?f?(x0)(x?x0)
1y?y0??(x?x0),(f?(x0)?0)法线方程： f?(x0)2． 曲线的单调性： ⑴
f?(x)?0x?(a,b)?f(x)在(a,b)内单调增加；
f?(x)?0x?(a,b)?f(x)在(a,b)内单调减少
⑵
f?(x)?0x?(a,b)?在(a,b)内严格单调增加；
f?(x)?0x?(a,b)?在(a,b)内严格单调减 少 3.函数的极值： ⑴极值的定义：
设
f(x)在(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的一点；
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