01.量子力学基础知识
【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm ，这是Li 原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以k J ·mol -1
为单位的能量。 解：81
141
2.99810m s 4.46910s 670.8m c
νλ--??===?
41
711 1.49110cm 670.810cm νλ--===??
3414123-1 -16.62610J s 4.46910 6.602310mol 178.4kJ mol A E h N s ν--==??????=?
【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s -1
，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm 的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？ 解：2
012hv hv mv =+
()12
01812
341419312 2.998102 6.62610 5.46410300109.10910h v v m m s J
s s m kg υ------??=???????????-??? ??????=??????
? 1341412
31512 6.62610 4.529109.109108.1210J s s kg m s ----??????=?????=? 【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：
（a ） 质量为10-10kg ，运动速度为0.01m ·s -1
的尘埃； （b ） 动能为0.1eV 的中子；
（c ） 动能为300eV 的自由电子。
解：根据关系式：
(1)34221016.62610J s 6.62610m 10kg 0.01m s h mv λ----??===???
34-11 (2) 9.40310m
h p λ-=
===
?
3411(3) 7.0810m
h p λ--====? 【1.6】对一个运动速度c υ（光速）的自由粒子，有人进行了如下推导： 1v v v v 2h h E m p m νλ=====①②
③④⑤ 结果得出12m m υυ=的结论。上述推导错在何处？请说明理由。
解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：
/E hv
p h λ== 式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck 常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：
p m υ=
知 ①，②，④和⑤四步都是正确的。
微粒波的波长λ服从下式：
/u v λ=
式中，u 是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度υ ，但③中用了/u v λ=，显然是错的。
在④中，E hv =无疑是正确的，这里的E 是微粒的总能量。若计及E 中的势能，则⑤也不正确。
【1.7】子弹（质量0.01kg ，速度1000m ·s -1），尘埃（质量10-9kg ，速度10m ·s -1
）、作布郎运动的花粉（质量10-13kg ，速度1m ·s -1）、原子中电子（速度1000 m ·s -1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？
解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：
子弹：343416.2610 6.63100.01100010%h J s x m m v kg m s ---???===??????
尘埃：3425916.62610 6.6310101010%h J s x m m v kg m s ----???===??????
花粉：34201316.62610 6.631010110%h J s x m m v kg m s ----???===?????? 电子：3463116.626107.27109.10910100010%h J s x m m v kg m s ----???===???????
【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V ，电子运动速度的不确定度υ?为υ的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为
：34
102/10%3.8810h x m m eV m m
υ--=
=?==? 这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。
【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约610m -）观察不到电子衍射（用100000V 电
压加速电子）。 解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：
9911 1.22610/1.2261010000
1.22610x h h x m p h V
m m λ---=
==?=?=? 这不确定度约为光学光栅周期的10
－5倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10－5
倍，用光学光栅观察不到电子衍射。
解法二：若电子位置的不确定度为10－
6m ，则由不确定关系决定的动量不确定度为：
3462816.62610106.62610x h J s p x m J s m ----??==?=?
在104V 的加速电压下，电子的动量为： 2315.40210x x p m J s m υ--====? 由Δp x 和p x 估算出现第一衍射极小值的偏离角为：
2812315
arcsin arcsin 6.62610arcsin 5.40210arcsin100x
x
o
p p J s m J s m θθ-----?==??? ????
≈ 这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子
衍射。 【1.11】2ax xe ?-=是算符2
2224d a x dx ??- ??
?的本征函数，求其本征值。 解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得： 222
22222244ax d d a x a x xe dx dx ψ-????-=- ? ?????
()2222224ax ax d xe a x xe dx --=-
()
22222222232323242444ax ax ax
ax ax ax ax d e ax e a x e dx axe axe a x e a x e -------=--=--+-
266ax
axe a ψ
-=-=-
因此，本征值为6a -。 【1.12】下列函数中，哪几个是算符2
2d dx 的本征函数？若是，求出本征值。
3,sin ,2cos ,,sin cos x e x x x x x +
解：2x 2d e d x =，x e 是2
2d d x 的本征函数，本征值为1。
22d sin x 1sin x,d x
=?sin x 是2
2d d x 的本征函数，本征值为1。 2
2d (2cos x )2cos x d x =
【1.13】im e φ和cos m φ对算符d
i
d φ是否为本征函数？若是，求出本征值。
解：im im d i e ie d φφ
φ=，im im me φ=- 所以，im e φ是算符d
i d φ的本征函数，本征值为m -。
而()cos sin sin cos d i m i m m im m c m d φφφφ
φ=-=-≠
所以cos m φ不是算符d
i
d φ的本征函数。 【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为
(
)n n x x l π?= 1,2,3n =??? 式中l 是势箱的长度，x 是粒子的坐标)x l <，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均值。
解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：
222n 222h d n πx h d n πx ?H ψ(x )-)-)8πm d x l 8πm d x l ==
(sin )n n n x l l l πππ=?-
22222
222()88n h n n x n h x m l l ml ππψπ=-?= 即：
2228n h E ml = （2）由于??x
()(),x n n x c x ψψ≠无本征值，只能求粒子坐标的平均值： ()()x l x n sin l x l x n sin l x x ?x x l *l n l *n d 22d x 000??????? ?????? ??==ππψψ ()x l x n cos x l dx l x n sin x l l l d 22122002??????? ??-=??? ??=ππ
2
000122sin sin d 222l l l x l n x l n x x x l n l n l ππππ????=-+?? ??????
2l =
（3）由于
()()??p ,p x n n x x c x ψψ≠无本征值。按下式计算p x
的平均值
: ()()1
*0?d x n x n p x p x x ψψ=?
0d 2n x ih d n x x l dx l πππ?=- ?? 20sin cos d 0l nih n x n x x l l l ππ=-=? 【1.16】求一维势箱中粒子在1?和2?状态时，在箱中0.49~0.51l l 范围内出现的概率，并与图1.3.2（b ）相比较，讨论所得结果是否合理。
解：（a ）(
)1x x l πψ= ()22
12sin x x l l πψ=
(
)22x x l πψ=
()22222sin x x l l πψ= 由上述表达式计算()21x ψ和()22x ψ，并列表如下：
/x l 0
1/8 1/4 1/3 3/8 1/2 ()21
1/x l ψ- 0
0.293 1.000 1.500 1.726 2.000 ()212/x l ψ- 0
1.000
2.000
1.500
1.000
/x l
5/8 2/3 3/4 7/8
1 ()211/x l ψ-
1.726 1.500 1.000 0.293 0 ()212/x l ψ-
1.000
1.500
2.000
1.000
根据表中所列数据作()2
n x x ψ-图示于图1.16中。
图1.16
（b ）粒子在1ψ状态时，出现在0.49l 和0.51l 间的概率为：
()0.512
110.49l
l
P x dx
ψ=
?
2
0.510.49l
l x dx l π?=????
0.5120.490.510.492sin 22sin 24l
l
l
l
x dx
l l x l x l l πππ=??=-?????
()
0.510.4912sin
21
0.02sin1.02sin 0.9820.0399l
l
x x l l πππππ
??=-????=--=
粒子在ψ2状态时，出现在0.49l 和0.51l 见的概率为：
x / l
ψ2
1 (x )/l
-1
ψ2
2x /l
-1
x / l
(
)0.512220.4920.510.490.5120.490.510.490.510.49222sin 24sin 2814sin 40.51140.510.49140.49sin sin 440.0l
l l l l l
l l
l
l
P x dx x dx
l x dx l l x l x l l x x l l l l l l l l l l ψππππππππππ=
?=???
=??=-??????=-??????????=--- ? ?????
≈???001 （c ）计算结果与图形符合。
【1.17】链型共轭分子22CH CHCHCHCHCHCHCH 在长波方向160nm 处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估算其长度。
解：该分子共有4对π电子，形成8n π离域π键。当分子处于基态时，8个π电子占据能级最低的前4个分子轨道。当分子受到激发时，π电子由能级最高的被占轨道（n=4）跃迁到能级最低的空轨道（n=5），激发所需要的最低能量为ΔE ＝E 5－E 4，而与此能量对应的吸收峰即长波方向460nm 处的第一个强吸收峰。按一维势箱粒子模型，可得： ()2
