排列
，有a1bn+a2bn-1+ +anb1≤≤a1b1+a2b2+ +anbn.
【证明】 引理：记A0=0，Ak
=
，则
=（阿贝尔求和法）。
证法一：因为b1≤b2≤ ≤bn，所以记sk=
≥b1+b2+ +bk.
-( b1+b2+ +bk)，则sk≥0(k=1, 2, , n)。
所
以
-(a1b1+a2b2+ +anbn
)=
+snan≤0.
最后一个不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1, 2, , n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。 证法二：（调整法）考察若因为
≥0，
所 调整后，和是不减的，接下来若得左边不等式。
，则继续同样的调整。至多经n-1次调整
(j≤n-1)，则将
与
互换。
，若
，则存在。
就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可
例15 已知a1, a2, ,an∈R+，求证；
a1+a2+ +an.
【证明】证法一：因为≥2an.
， ，
上述不等式相加即得
≥a1+a2+ +an.
证法二：由柯西不等式
(a1+a2+ +an)≥(a1+a2+ +an)2，
