[例7] 求数列的前n项和：1 1,
111
4,2 7, ,n 1 3n 2，… aaa111
解：设Sn (1 1) ( 4) (2 7) (n 1 3n 2)
aaa111
Sn (1 2 n 1) (1 4 7 3n 2)
aaa
(3n 1)n(3n 1)n
当a＝1时，Sn n ＝
2211 n1 n
a a(3n 1)n(3n 1)n 当a 1时，Sn ＝
1a 1221 a
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
sin1
（1）an f(n 1) f(n) （2） tan(n 1) tann
cosncos(n 1)(2n)2111111
（3）an （4）an 1 ( )
n(n 1)nn 1(2n 1)(2n 1)22n 12n 1
（5）an (6)
1111
[ ]
n(n 1)(n 2)2n(n 1)(n 1)(n 2)
an
n 212(n 1) n1111
n n ,则S 1 nn 1nn
n(n 1)2n(n 1)2n 2(n 1)2(n 1)2
例 求数列
11 2
1
,
12 3
, ,
1n n 1
, 的前n项和.
an
n n 111 2
n 1 n 12 3
1n n 1
则 Sn
＝n 1 1
例 在数列{an}中，an
项的和.解： ∵ an
12n2
，又bn ，求数列{bn}的前nn 1n 1n 1an an 1
12nn n 1n 1n 12
